Trouver le polynôme [formule] tel que [formule], [formule], [formule].
Lagrange ou résolution directe.
Un exercice voisin résout le même type de question par les polynômes de Lagrange. Ici on procède directement, par un système linéaire — et l'intérêt est de voir pourquoi ce système a toujours une solution unique, ce que le point de vue Lagrange masque en donnant la réponse toute faite. Mise en équations. Cherchons [formule]. Les trois conditions donnent [formule] Résolution. La première équation donne [formule] immédiatement, ce qui simplifie les deux autres : [formule] En soustrayant : [formule], puis [formule]. D'où [formule] Contrôle : [formule], [formule], [formule]. Les trois valeurs sont bonnes. Pourquoi le système est toujours résoluble, et de façon unique. Sa matrice est celle de Vandermonde aux points [formule] : [formule] Ce déterminant est non nul dès que les points d'interpolation sont deux à deux distincts : le système est alors de Cramer, donc il a une solution et une seule. C'est exactement l'énoncé du théorème d'interpolation. Une seconde démonstration de l'unicité, sans déterminant. Si [formule] et [formule] de degré [formule] coïncident en trois points, alors [formule] est de degré [formule] et possède trois racines distinctes. Un polynôme non nul de degré [formule] ayant au plus [formule] racines, on conclut [formule]. Cet argument est plus court et se généralise sans changement à [formule] points et au degré [formule]. ⚠️ Le degré doit être [formule], pas [formule]. Il n'existe qu'un seul polynôme de degré au plus [formule] passant par trois points donnés, mais il en existe une infinité de degré [formule] — il suffit d'ajouter [formule], qui s'annule aux trois points, pour tout [formule]. C'est la raison pour laquelle l'énoncé impose [formule] : sans contrainte de degré, il n'y a pas d'unicité, et la question n'a pas de réponse. 💡 À retenir. Trois façons de voir la même chose. L'application [formule], [formule], est un isomorphisme dès que les [formule] sont distincts : elle est injective par l'argument des racines et les deux espaces ont même dimension [formule]. Sa matrice est la Vandermonde ; son inverse est donné par les polynômes de Lagrange. Résoudre le système, inverser Vandermonde ou écrire la formule de Lagrange sont donc trois calculs du même isomorphisme.