Calculer [formule] le 12-ème polynôme cyclotomique.
Utiliser [formule].
La division par le produit des cyclotomiques précédents est la méthode générale, et elle marche toujours. Mais il existe ici un raccourci qui donne le résultat en une ligne, et il vaut mieux connaître la règle qui le fournit — elle dispense de la division dans la plupart des cas. Rappel — définition et relation fondamentale. [formule] est le polynôme unitaire dont les racines sont exactement les racines primitives [formule]-ièmes de l'unité, celles d'ordre exactement [formule]. Comme toute racine [formule]-ième a un ordre [formule] divisant [formule], on obtient la partition [formule] d'où [formule]. Ici [formule] : la réponse sera de degré [formule]. Méthode générale — par division. Les diviseurs de [formule] sont [formule], et [formule] Leur produit vaut [formule] en utilisant [formule]. La division donne [formule] division exacte, reste nul — ce qui est déjà un contrôle. Le raccourci. Si [formule] est premier et [formule], alors [formule] ; et si [formule], alors [formule]. Ici [formule] avec [formule], donc [formule] — une ligne au lieu d'une division. Une seconde règle utile : pour [formule] impair [formule], [formule]. Contrôle. Les racines primitives [formule]-ièmes sont [formule] pour [formule], soit quatre valeurs — conforme au degré. Évaluer [formule] en chacune donne [formule] à [formule] près. Autre contrôle immédiat : [formule], et de fait [formule] si [formule] est une puissance du premier [formule], et [formule] sinon — [formule] n'étant pas une puissance de premier. ⚠️ Les coefficients ne sont pas tous dans [formule], contrairement à ce que les petits cas suggèrent. C'est vrai jusqu'à [formule], ce qui donne une fausse impression de règle générale ; le premier contre-exemple est [formule] Ce n'est pas un hasard : [formule] est le plus petit entier à trois facteurs premiers impairs distincts. Les coefficients de [formule] peuvent en fait devenir arbitrairement grands. 💡 À retenir. Trois faits. [formule] est à coefficients entiers, ce qui n'est pas évident et vient de ce que la division euclidienne par un polynôme unitaire préserve [formule]. Il est irréductible sur [formule] pour tout [formule] — facile pour [formule] premier par Eisenstein après translation, nettement plus délicat en général. Et [formule] modulo [formule] se factorise en facteurs de degré [formule], ce qui donne le nombre de facteurs et fournit une construction explicite des corps finis.