Résoudre x = cos(x) par la méthode de point fixe. Montrer la convergence.
Banach donne DEUX estimations d'erreur. Laquelle sert à dimensionner avant de calculer, laquelle à s'arrêter pendant ?
L'existence et l'unicité du point fixe sont acquises. La question ici est algorithmique : on itère, et on veut savoir combien de fois. Le théorème de Banach ne donne pas seulement un point fixe, il fournit deux estimations d'erreur — et l'écart entre les deux est spectaculaire. Rappel — Les deux estimations de Banach. Pour [formule] contractante de rapport [formule] et [formule] : l'estimation a priori [formule], calculable avant de lancer l'itération ; et l'estimation a posteriori [formule], qui n'utilise que le dernier pas effectué. Le cadre. Sur [formule], [formule] : [formule] est contractante de rapport [formule], et [formule] est stable par [formule] (voir l'exercice sur l'existence du point fixe). L'itération converge donc, quel que soit [formule]. Combien d'itérations pour [formule] ? Partons de [formule], d'où [formule] et [formule]. L'estimation a priori demande [formule], soit [formule], c'est-à-dire [formule] : il faut donc [formule] itérations garanties. Ce que l'itération fait vraiment. À [formule], l'erreur réelle vaut déjà [formule], alors que la borne a priori annonce [formule] — six ordres de grandeur de pessimisme. Et l'estimation a posteriori, elle, atteint [formule] dès [formule]. La borne a priori sert à dimensionner avant de calculer ; l'a posteriori à s'arrêter quand on calcule. Pourquoi tant de pessimisme ? Parce que [formule] majore [formule] sur tout [formule], alors que l'itération converge vers [formule] où [formule]. Le taux de convergence asymptotique est ce [formule], sensiblement meilleur que le [formule] garanti globalement. ⚠️ L'erreur classique. Utiliser [formule] comme critère d'arrêt. Ce n'est pas une majoration de l'erreur : il manque le facteur [formule], qui vaut ici [formule]. Croire qu'on est à [formule] quand deux itérés successifs diffèrent de [formule] revient à sous-estimer l'erreur d'un facteur [formule] — et bien davantage lorsque [formule] approche [formule]. 💡 À retenir. La convergence est géométrique de raison [formule] : chaque itération gagne un facteur constant, soit environ [formule] décimale par tour. C'est lent comparé à Newton, qui double le nombre de décimales à chaque pas — et c'est pourquoi on préfère Newton dès qu'on dispose de la dérivée.