Théorème de point fixe de Banach

Énoncé

Résoudre x = cos(x) par la méthode de point fixe. Montrer la convergence.

Indication

Montrer que f(x) = cos(x) est contractante sur un intervalle.

Solution

Sur [formule], [formule]. Donc [formule] est [formule]-contractante avec [formule]. Par le théorème de Banach, f a un unique point fixe dans [0,1]. Méthode itérative : [formule], [formule]. Convergence : |[formule]− x*| [formule]− x*| [formule] Résultat numérique : [formule]