Montrer que [formule] admet un unique point fixe sur [formule].
Trois vérifications, pas une : [formule] complet, [formule], et [formule].
Le théorème du point fixe de Banach donne existence et unicité d'un coup, mais au prix de trois vérifications qu'il ne faut pas escamoter : l'espace est complet, il est stable par [formule], et [formule] y est contractante. C'est la vérification de stabilité qu'on oublie le plus souvent. Rappel — Théorème du point fixe de Banach. Soit [formule] un espace métrique complet non vide et [formule] contractante, c'est-à-dire [formule]-lipschitzienne avec [formule]. Alors [formule] admet un unique point fixe, et la suite [formule] y converge quel que soit [formule]. Complétude. [formule] est un fermé de [formule], qui est complet : c'est donc un espace métrique complet, et il est non vide. Stabilité. [formule] est décroissante sur [formule], donc [formule]. Comme [formule], on a bien [formule] : [formule] envoie l'intervalle dans lui-même. Contraction. [formule] est dérivable et [formule]. Sur [formule], [formule] est croissante et positive, donc [formule]. Par l'inégalité des accroissements finis, [formule] : [formule] est contractante de rapport [formule]. Les trois hypothèses étant vérifiées, [formule] admet un unique point fixe [formule], limite de la suite [formule] pour n'importe quel départ. Numériquement [formule] — le nombre de Dottie, celui qu'on obtient en tapant [formule] en boucle sur une calculatrice. ⚠️ L'erreur classique. Se contenter de [formule] en chaque point. Cela ne suffit pas : il faut [formule], donc une majoration uniforme. Sur [formule] la compacité l'assure, mais sur [formule] la fonction [formule] vérifie [formule] partout et n'a aucun point fixe. Second oubli fréquent : la stabilité [formule], sans laquelle l'itération sort de l'espace. 💡 À retenir. Trois cases à cocher, dans cet ordre : complet, stable, contractant. La contraction se prouve presque toujours par l'inégalité des accroissements finis, en majorant [formule] sur un compact.