Résoudre le système : x+y+z=6, 2x-y+z=3, x+2y-z=2.
Échelonner la matrice augmentée.
L'algorithme est mécanique, ce qui le rend d'autant plus important à contrôler : une erreur de signe dans une combinaison de lignes produit un système parfaitement bien formé et une solution fausse. On donnera donc, en plus du déroulé, les deux vérifications qui coûtent le moins et attrapent le plus. Rappel — ce que les opérations préservent. Trois opérations sont autorisées sur les lignes : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, et ajouter à une ligne un multiple d'une autre. Chacune est inversible, donc elles préservent l'ensemble des solutions — c'est ce qui justifie l'algorithme. La restriction « une autre » est essentielle : [formule] détruirait de l'information. Descente. Matrice augmentée, puis élimination sous le premier pivot : [formule] Puis, après [formule] et [formule] : [formule] Remontée. La dernière ligne donne [formule], soit [formule]. La deuxième : [formule], soit [formule]. La première : [formule], soit [formule]. Solution : [formule]. Les deux contrôles. Le premier est de réinjecter dans le système d'origine, jamais dans une forme intermédiaire — c'est le seul qui teste toute la chaîne : [formule] ✓, [formule] ✓, [formule] ✓. Le second suit le déterminant : il vaut [formule] au départ, reste inchangé par les deux premières opérations, est multiplié par [formule] à la normalisation de [formule], donc doit valoir [formule] à la fin — et c'est bien le produit des pivots [formule]. ✓ ⚠️ Réinjecter dans le système ÉCHELONNÉ ne prouve rien. C'est l'erreur la plus fréquente : on vérifie sa solution sur la dernière matrice obtenue, qui est précisément celle dont on a peut-être fauté le calcul. La vérification est alors circulaire — elle valide la remontée et rien d'autre. Toujours revenir aux équations initiales. Ce que le pivot donne au-delà de la solution. Le nombre de pivots est le rang, ici [formule] : le système est de Cramer, solution unique. S'il y avait eu un pivot de moins, on aurait lu directement la dimension de l'espace des solutions ([formule]) et l'existence même d'une solution (compatibilité de la ligne nulle). Et l'élimination sur [formule] au lieu de [formule] produit [formule] — c'est le même algorithme. 💡 À retenir. Le pivot de Gauss a un coût en [formule] et c'est la méthode de référence pour résoudre, inverser, calculer un rang ou un déterminant. En calcul numérique, on lui ajoute le pivotage partiel — choisir à chaque étape le pivot de plus grand module dans la colonne — non pour éviter les divisions par zéro, mais pour limiter l'amplification des erreurs d'arrondi. Sans lui, la méthode est instable même sur des systèmes bien conditionnés.