Calculer [formule] dans [formule].
Euclide ou factorisation.
Les deux méthodes proposées ne se valent pas, et il faut savoir pourquoi. La factorisation marche ici parce que les deux polynômes se factorisent à vue ; l'algorithme d'Euclide, lui, marche toujours et ne demande jamais de trouver une racine. Sur un cas où la factorisation résiste, seul le second est utilisable. Rappel — pourquoi le pgcd existe. [formule] est euclidien pour le degré : pour [formule] avec [formule], il existe un unique couple [formule] avec [formule] et [formule]. Il en résulte que [formule] est principal, donc que [formule] existe — c'est le générateur unitaire de l'idéal [formule]. Le pgcd n'est défini qu'à une constante multiplicative près, et on le normalise en le prenant unitaire. Méthode 1 — factorisation. [formule] Sur [formule], [formule] est irréductible (discriminant [formule]) et [formule] ne divise pas [formule]. Le seul facteur commun est donc [formule], et [formule] Méthode 2 — Euclide, qui ne suppose rien. [formule] Le dernier reste non nul est [formule] : c'est le pgcd. Deux divisions, aucune racine à deviner. Bézout arrive gratuitement avec Euclide, et pas avec la factorisation. La première division se relit [formule] ce qui donne un couple de Bézout explicite [formule]. Contrôle : [formule]. ✓ C'est l'argument décisif en faveur d'Euclide : la factorisation donne le pgcd, elle ne donne jamais les coefficients. La formule générale, qui vaut mieux que le cas particulier. [formule] Ici [formule], d'où [formule]. La démonstration est exactement l'algorithme d'Euclide sur les exposants : si [formule], alors [formule], et [formule] divise [formule]. Contrôles : [formule] et [formule]. ⚠️ Le pgcd ne dépend PAS du corps, contrairement à la factorisation. Sur [formule], [formule] se scinde en [formule] et [formule] a trois facteurs au lieu de deux — la factorisation change complètement. Le pgcd, lui, reste [formule] : l'algorithme d'Euclide n'utilise que les opérations du corps de base, donc son résultat est le même dans toute extension. C'est un fait qu'on utilise sans le dire, par exemple pour tester si un polynôme réel a une racine multiple en calculant [formule] sans quitter [formule]. 💡 À retenir. Euclide plutôt que la factorisation, par principe : il termine toujours (le degré des restes décroît strictement), il ne demande aucune racine, et sa remontée donne Bézout. Et retenir le critère de racine multiple : [formule] a une racine multiple si et seulement si [formule], ce qui se teste sans jamais factoriser.