Orthonormaliser la famille [formule] = ((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)) dans [formule].
Procédé de Gram-Schmidt.
Le même procédé que l'exercice voisin, sur une autre famille. On le mène ici jusqu'au bout — la rédaction d'origine s'arrêtait à « calculs » sans donner [formule] — puis on regarde ce que Gram-Schmidt est vraiment : une factorisation matricielle, dont la version naïve est numériquement dangereuse. Orthogonalisation, sans normaliser. On garde des vecteurs à coefficients rationnels aussi longtemps que possible. [formule], avec [formule]. Puis [formule], donc [formule] Enfin [formule] et [formule], donc [formule] Normalisation et contrôle. [formule] Contrôle : [formule], [formule], [formule]. ✓ Ce que le procédé est, vu matriciellement : la décomposition QR. Les relations [formule] disent exactement que la matrice [formule] dont les colonnes sont les [formule] s'écrit [formule] avec [formule] orthogonale (colonnes [formule]) et [formule] triangulaire supérieure à diagonale strictement positive. La triangularité traduit le fait que [formule] ne fait intervenir que [formule] — c'est la propriété de drapeau. Sous cette forme, l'unicité devient claire : [formule] est unique dès qu'on impose [formule]. À quoi sert QR. À résoudre les moindres carrés : minimiser [formule] revient, en remplaçant [formule] par [formule], à résoudre [formule], système triangulaire donc immédiat. C'est la méthode standard en pratique, préférée aux équations normales [formule] — dont le conditionnement est le carré de celui de [formule]. ⚠️⚠️ Le procédé écrit ci-dessus est numériquement DANGEREUX, et l'écart est spectaculaire. Sur une matrice mal conditionnée — colonnes presque colinéaires — la version classique perd l'orthogonalité par annulation catastrophique. Mesuré sur la matrice de Läuchli avec [formule] : [formule] Un demi au lieu de zéro : les vecteurs produits ne sont pas orthogonaux du tout. Le remède ne coûte rien — dans la variante modifiée, on retranche les projections une à une en mettant [formule] à jour à chaque fois, au lieu de les calculer toutes contre le [formule] initial. Mathématiquement identique, numériquement sans commune mesure. 💡 À retenir. Gram-Schmidt a trois vies : un procédé de calcul à la main, une démonstration d'existence de base orthonormée, et une factorisation [formule]. La troisième est celle qui sert en pratique — et l'on n'y emploie même plus Gram-Schmidt, lui préférant les réflexions de Householder, stables sans précaution. Quand deux algorithmes sont équivalents sur le papier, leur comportement en arithmétique flottante peut différer du tout au tout.