Soit [formule] défini par [formule] (shift). Calculer [formule].
La majoration est une égalité, donc la norme est immédiate. La vraie question : qu'est-ce que cet opérateur rend possible et qui serait interdit en dimension finie ?
Calculer une norme d'opérateur demande deux choses : une majoration valable pour tout [formule], et un [formule] qui l'atteint (ou l'approche). Ici la majoration est en fait une égalité pour tout [formule], ce qui rend le calcul immédiat — mais l'intérêt de l'exercice est ailleurs, dans ce que cet opérateur révèle de la dimension infinie. Rappel — Norme subordonnée. [formule], et c'est la plus petite constante [formule] telle que [formule] pour tout [formule]. Prouver [formule] demande donc toujours deux inégalités — sauf, comme ici, si l'on dispose d'une égalité directe. Le calcul. [formule] ne fait que décaler les coordonnées sans en modifier aucune, donc [formule]. Ainsi [formule] pour tout [formule] : [formule] est une isométrie, et [formule], la borne étant atteinte par n'importe quel vecteur unitaire. Ce que cet opérateur a d'impossible en dimension finie. [formule] est injectif (isométrie) mais pas surjectif : [formule] n'a aucun antécédent, toute image ayant une première coordonnée nulle. En dimension finie, le théorème du rang interdit cela — injectif entraîne bijectif. L'existence d'une isométrie non surjective caractérise en un sens la dimension infinie. L'adjoint, et l'asymétrie qu'il révèle. L'adjoint est le décalage à gauche : [formule]. On a [formule] — cohérent avec l'isométrie — mais [formule] : [formule] admet un inverse à gauche et aucun à droite. Le spectre, contre-intuitif. [formule] n'a aucune valeur propre : [formule] impose [formule] puis, de proche en proche, [formule]. Et pourtant son spectre est le disque unité fermé tout entier — un opérateur peut donc avoir un spectre gros sans posséder le moindre vecteur propre. En dimension finie, spectre et ensemble des valeurs propres coïncident. ⚠️ L'erreur classique. Confondre [formule] et [formule] dans la définition, et croire qu'il faut exhiber un vecteur réalisant la borne. Ce n'est pas toujours possible : pour [formule] défini sur [formule] par [formule], on a [formule] et [formule] pour tout [formule]. La norme est un supremum, pas nécessairement atteint. 💡 À retenir. Le shift est le contre-exemple de référence de l'analyse fonctionnelle : isométrie non surjective, inverse à gauche sans inverse à droite, spectre non vide sans valeur propre. Chaque fois qu'un énoncé de dimension finie semble « évidemment » se transposer, l'essayer d'abord sur lui.