Déterminer la structure de [formule]-module de [formule].
Décomposition en facteurs invariants ou primaire.
La réponse tient en une ligne, mais l'exercice porte sur un vocabulaire qu'on confond facilement : facteurs invariants et diviseurs élémentaires sont deux décompositions différentes du même module, et savoir passer de l'une à l'autre est ce qui est réellement demandé. Rappel — le théorème de structure. Tout module de type fini sur un anneau principal [formule] s'écrit [formule] de façon unique. L'entier [formule] est le rang (partie libre), et les [formule] sont les facteurs invariants — la chaîne de divisibilité fait partie de l'énoncé et assure l'unicité. Application à [formule]. Le module est fini, donc de torsion pure : [formule], il n'y a aucune partie libre. Il est de plus cyclique — engendré par [formule] — donc il n'y a qu'un seul facteur invariant : [formule] L'autre décomposition : les diviseurs élémentaires. Le théorème chinois casse chaque facteur invariant en puissances de premiers, [formule] avec [formule] : [formule] Les deux listes décrivent le même module ; elles ne se ressemblent simplement pas. Comment passer de l'une à l'autre. Des diviseurs élémentaires aux facteurs invariants : on range les puissances par premier, on aligne les listes à droite en complétant par des [formule], et on multiplie colonne par colonne. Ici [formule] pour [formule] et [formule] pour [formule] donnent une seule colonne, [formule]. Dans l'autre sens, on factorise chaque [formule]. Le plus grand facteur invariant est toujours l'exposant du module — ici [formule], l'ordre maximal d'un élément. ⚠️ Ne pas confondre « cyclique » et « somme de cycliques ». Tout module de torsion de type fini sur un principal est une somme directe de cycliques ; être cyclique tout court est bien plus fort, et cela se lit sur le nombre de facteurs invariants — un seul. Ainsi [formule] est cyclique (les ordres sont premiers entre eux), alors que [formule] ne l'est pas — ses facteurs invariants sont [formule], et aucun élément n'y est d'ordre [formule]. Le même théorème, deux visages. Sur [formule], il donne la classification des groupes abéliens finis. Sur [formule], appliqué au module [formule] vu comme [formule]-module via [formule], il donne la réduction des endomorphismes : les facteurs invariants sont ceux de la matrice, le dernier est le polynôme minimal, leur produit le polynôme caractéristique, et les diviseurs élémentaires sont exactement les blocs de Jordan. C'est le même énoncé. 💡 À retenir. Le mot « principal » est ce qui fait tout marcher, et le théorème tombe dès qu'on le retire : sur [formule], non principal, l'idéal [formule] est un module de type fini sans torsion qui n'est pas libre. Retenir aussi la correspondance [formule] : classification des groupes abéliens et réduction de Jordan sont le même théorème lu sur deux anneaux.