Valeurs propres d'une matrice stochastique

Énoncé

Soit [formule] une matrice stochastique ([formule], [formule]). Montrer que [formule] est valeur propre et que toutes les v.p. vérifient [formule].

Indication

Pour [formule] : vecteur [formule]. Pour la majoration : norme [formule].

Solution

[formule] car [formule] : le vecteur [formule] est vecteur propre pour [formule]. Soit [formule] avec [formule]. Soit [formule]. [formule]. [formule]. Donc [formule]. [formule]