Soit [formule] une matrice stochastique ([formule], [formule]). Montrer que [formule] est valeur propre et que toutes les v.p. vérifient [formule].
Pour [formule] : vecteur [formule]. Pour la majoration : norme [formule].
Les deux énoncés se démontrent en quelques lignes, et le second par une astuce qui vaut d'être retenue — regarder la coordonnée de plus grand module. Ce qu'il faut ajouter, c'est ce que le résultat ne dit pas : [formule] n'entraîne nullement que [formule] soit la seule valeur propre de module [formule]. Rappel — matrice stochastique. [formule] est stochastique en lignes si [formule] et [formule] pour tout [formule]. Chaque ligne est donc une loi de probabilité — celle des transitions depuis l'état [formule]. [formule] est valeur propre. La condition [formule] dit exactement que la [formule]-ième coordonnée de [formule] vaut [formule], où [formule] : [formule] Le vecteur constant est donc propre pour la valeur propre [formule], qui appartient au spectre. Toutes les valeurs propres sont de module [formule]. Soit [formule] avec [formule], et soit [formule] un indice réalisant le maximum [formule]. En écrivant la [formule]-ième coordonnée : [formule] La première inégalité est triangulaire, la seconde utilise la positivité des [formule] — sans elle on ne pourrait pas majorer [formule] par le max sans changer les signes. En divisant par [formule] : [formule]. ⚠️⚠️ [formule] n'est PAS la seule valeur propre de module [formule], ni nécessairement simple. La matrice de permutation cyclique [formule] est stochastique, et [formule] : son polynôme minimal divise [formule], donc ses valeurs propres sont les trois racines cubiques de l'unité, toutes de module [formule]. La chaîne de Markov correspondante est périodique — elle tourne indéfiniment sans converger. Conclure de [formule] que [formule] converge est donc faux. Ce qu'il faut en plus : Perron-Frobenius. Si tous les coefficients de [formule] sont strictement positifs — ou plus généralement si [formule] est irréductible et apériodique —, alors [formule] est valeur propre simple et toutes les autres vérifient [formule] strictement. C'est cette dominance stricte qui garantit la convergence [formule] vers la loi stationnaire, à vitesse géométrique gouvernée par le deuxième module — le trou spectral. Attention à la distinction gauche/droite. Le vecteur [formule] est propre à droite ; la loi stationnaire [formule], elle, est un vecteur propre à gauche ([formule]), et elle n'a aucune raison d'être constante. Les deux existent pour la même valeur propre [formule] — le spectre d'une matrice et de sa transposée coïncident — mais ce sont des objets différents, et c'est [formule] qui porte l'information probabiliste. 💡 À retenir. La technique de la coordonnée maximale est le réflexe pour majorer des valeurs propres à partir des coefficients : elle donne aussi les disques de Gershgorin, dont ce résultat est d'ailleurs un cas particulier — chaque disque est centré en [formule] de rayon [formule], donc contenu dans le disque unité fermé. Et retenir que [formule] est une borne de stabilité, pas de convergence : c'est la stricte inégalité qui fait converger.