Soit [formule] une martingale avec [formule]. Montrer que [formule] converge p.s. et dans [formule].
Utiliser le théorème de convergence des martingales (upcrossing inequality).
Deux convergences sont demandées, et elles ne se démontrent pas du tout de la même façon. La convergence presque sûre passe par l'inégalité des traversées de Doob, un argument de nature trajectorielle. La convergence [formule], elle, s'obtient bien plus simplement par l'orthogonalité des accroissements — sans jamais invoquer Fatou, contrairement à ce qu'on écrit parfois. Rappel — inégalité des traversées. Pour [formule], notons [formule] le nombre de traversées montantes de l'intervalle [formule] par [formule]. Doob établit [formule] L'idée derrière est financière : une stratégie qui achète en [formule] et revend en [formule] gagne [formule] par traversée, et une martingale ne permet aucun gain moyen — le nombre de traversées est donc contrôlé par le capital disponible. Convergence presque sûre. L'hypothèse [formule] donne, par Cauchy-Schwarz, [formule], donc [formule] Par convergence monotone, [formule], donc [formule] presque sûrement. Or [formule] réunion dénombrable de négligeables — c'est là que sert le passage aux rationnels. Cet ensemble est donc négligeable et [formule] converge presque sûrement vers une limite [formule]. Convergence [formule], par orthogonalité. Pour [formule], en conditionnant par [formule] : [formule] puisque [formule]. Les accroissements sont donc orthogonaux dans [formule], et le théorème de Pythagore donne [formule] Cette suite est croissante et bornée par [formule], donc la série converge. Alors pour [formule], [formule] la suite est de Cauchy dans [formule], qui est complet, donc elle converge dans [formule]. Les deux limites coïncident, une suite convergeant dans [formule] admettant une sous-suite convergeant presque sûrement. ⚠️ La borne [formule] ne peut PAS être remplacée par une borne [formule], et le contre-exemple est instructif. Posons [formule] et [formule] ou [formule], chacun avec probabilité [formule]. C'est une martingale : [formule]. Elle vaut [formule] avec probabilité [formule] et [formule] sinon, donc [formule] pour tout [formule] — elle est bornée dans [formule]. Elle converge presque sûrement vers [formule] (un zéro finit par tomber, avec probabilité [formule]), et pourtant [formule] Il n'y a donc aucune convergence [formule]. Et de fait [formule] : elle n'est pas bornée dans [formule]. Ce que ce contre-exemple délimite exactement. Une martingale bornée dans [formule] converge toujours presque sûrement — le théorème de Doob n'exige que cela. Ce qui manque pour la convergence [formule] est l'uniforme intégrabilité, dont la bornitude [formule] est un cas particulier commode. La martingale ci-dessus concentre toute sa masse sur un événement de probabilité [formule] où elle vaut [formule] : la masse ne disparaît pas, elle s'échappe vers l'infini, ce qui est exactement ce que l'uniforme intégrabilité interdit. 💡 À retenir. Trois régimes à distinguer nettement. Bornée dans [formule] donne la convergence presque sûre, et rien de plus. Uniformément intégrable donne en outre la convergence [formule] et la représentation [formule], qui referme la martingale. Bornée dans [formule] donne la convergence dans [formule], par l'argument d'orthogonalité ci-dessus — le plus court des trois, et le seul qui n'utilise pas les traversées.