Convergence des martingales bornées dans $L^2$

Énoncé

Soit [formule] une martingale avec [formule]. Montrer que [formule] converge p.s. et dans [formule].

Indication

Utiliser le théorème de convergence des martingales (upcrossing inequality).

Solution

**Convergence p.s.** : [formule] est une martingale [formule]-bornée. Par le théorème de convergence de Doob : Le nombre d'upcrossings [formule] vérifie [formule]. [formule] pour tous [formule]. Par convergence monotone : [formule], donc [formule] p.s. L'ensemble [formule] est de probabilité [formule]. Donc [formule] p.s. La convergence [formule] suit par [formule] borné et Fatou inverse. [formule]