Marche aléatoire [formule] avec [formule]. Soit [formule] pour [formule]. Calculer [formule] en utilisant les martingales.
[formule] est-elle une martingale ?
L'énoncé invite à sortir l'artillerie des martingales. Il faut résister une minute et regarder d'abord la parité : elle donne la réponse en une ligne, et elle donne mieux que la réponse — elle montre que [formule] n'est pas une variable aléatoire dont on calcule la moyenne, mais une constante. La remarque de parité. Chaque pas vaut [formule], donc [formule] et [formule] n'ont jamais la même parité, et une récurrence immédiate depuis [formule] donne [formule] Sur l'événement [formule] on a [formule], donc [formule] : [formule] D'où [formule], et l'on sait en plus que la variable ne fluctue pas du tout. Il reste à justifier que [formule] est fini. Ce n'est pas gratuit : la marche symétrique sur [formule] est récurrente — la série [formule] diverge, puisque [formule] — donc elle visite tout entier presque sûrement et [formule]. Sans cette récurrence, la conclusion serait vide de sens. Rappel — théorème d'arrêt de Doob. Si [formule] est une martingale, [formule] un temps d'arrêt, et si l'une des conditions suivantes est vérifiée — [formule] borné, ou [formule] borné avec [formule] fini presque sûrement, ou [formule] avec des accroissements bornés — alors [formule] La voie par les martingales, et ce qu'elle révèle. Pour [formule] réel, [formule], donc [formule] est une martingale. En [formule] : [formule], et l'on obtient [formule] Mais [formule] est pair, donc [formule] pour tout [formule] : cette martingale est la fonction constante. Le théorème d'arrêt y dit [formule] — parfaitement vrai, et parfaitement vide. La voie martingale n'ajoute rien ici ; elle redit la parité, déguisée. ⚠️ Le contre-exemple qui montre que les hypothèses de Doob ne sont pas décoratives. Appliquons le théorème à la martingale la plus évidente, [formule] elle-même, avec le même temps d'arrêt : on obtiendrait [formule]. Or [formule] presque sûrement, donc [formule]. Le théorème est en défaut. La raison : [formule] n'est pas bornée, et surtout [formule] — la marche symétrique atteint [formule] en temps fini presque sûrement, mais avec un temps d'attente d'espérance infinie. Aucune des trois conditions n'est remplie. Contrôle numérique. Sur [formule] trajectoires simulées pour chaque valeur de [formule], la parité de [formule] observée est toujours celle de [formule], sans exception — conforme au caractère déterministe établi plus haut. Le temps médian, lui, explose : [formule] pas pour [formule], [formule] pour [formule], [formule] pour [formule], ce qui illustre l'espérance infinie. 💡 À retenir. Deux leçons de méthode. Chercher un invariant élémentaire — ici la parité — avant de déployer une machinerie : quand la machinerie donne la bonne réponse, elle peut n'être que l'invariant reformulé, et l'on n'a alors rien compris. Et vérifier les hypothèses du théorème d'arrêt sur chaque martingale employée : appliqué au mauvais objet, il produit ici l'égalité fausse [formule].