Théorème d'arrêt de Doob

Énoncé

Marche aléatoire [formule] avec [formule]. Soit [formule] pour [formule]. Calculer [formule] en utilisant les martingales.

Indication

[formule] est-elle une martingale ?

Solution

[formule] est une martingale car [formule]. En fait, [formule] est une martingale pour tout [formule]. Pour [formule] : [formule] martingale. Par le théorème d'arrêt : [formule]. Or [formule], donc [formule]. [formule]. [formule]