Soit [formule] avec E[X] = 2. Donner une borne supérieure pour [formule].
Inégalité de Markov.
Cet exercice ne demande pas de démontrer Markov mais de s'en servir, et surtout de mesurer ce qu'elle vaut. On ne connaît qu'une chose de [formule] : sa moyenne. La question intéressante n'est donc pas « quelle borne ? » mais « peut-on faire mieux avec si peu ? ». Application directe. [formule] est positive et [formule] : les deux hypothèses de l'inégalité de Markov sont réunies, donc [formule] Au plus [formule] de chances de dépasser cinq fois la moyenne. Le rapport se lit d'ailleurs directement en multiples de la moyenne : dépasser [formule] fois la moyenne a une probabilité au plus [formule]. Cette borne ne peut pas être améliorée. Prenons [formule] valant [formule] avec probabilité [formule] et [formule] avec probabilité [formule] : elle est positive, son espérance vaut [formule] comme l'énoncé l'exige, et [formule] exactement. Une variable admissible atteint donc la borne : aucune inégalité plus fine ne peut exister à partir de la seule donnée [formule]. Ce que Tchebychev ajoute, et ce qu'elle coûte. Elle réclame une information de plus, la Variance : [formule] Supposons par exemple [formule], donc [formule]. L'événement [formule] est inclus dans [formule], c'est-à-dire [formule], d'où [formule] Trois fois mieux que Markov — mais seulement parce qu'on a payé une hypothèse de plus. Pourquoi l'écart se creuse. Markov décroît en [formule], Tchebychev en [formule]. Avec les mêmes données [formule] et [formule], pour le seuil [formule] : Markov donne [formule], tandis que Tchebychev donne [formule], soit vingt-trois fois mieux. Et avec des hypothèses encore plus fortes — variable bornée, ou fonction génératrice des moments finie — les bornes de Chernoff décroissent exponentiellement. ⚠️ Tchebychev encadre l'écart à la moyenne, pas la variable. Elle majore [formule], donc les deux queues à la fois ; l'employer pour [formule] suppose l'inclusion [formule], qui abandonne la queue de gauche. Ici [formule] étant positive cette queue est presque vide et l'on ne perd quasiment rien, mais l'inclusion doit être écrite et non sous-entendue. 💡 À retenir. La hiérarchie des inégalités de concentration est une hiérarchie d'hypothèses : la moyenne seule donne [formule], la moyenne et la variance donnent [formule], un contrôle exponentiel donne [formule]. Une borne grossière n'est pas une borne mal démontrée — c'est le prix exact de ce qu'on ne sait pas.