Soit [formule] une suite de v.a. indépendantes. Montrer que la convergence de [formule] est un événement de probabilité 0 ou 1.
Montrer que c'est un événement de la tribu terminale.
L'énoncé se démontre en deux temps : identifier l'événement comme terminal, puis appliquer la loi du zéro-un. Le premier temps est facile et le second se cite — mais il vaut la peine de savoir pourquoi il est vrai, car la démonstration repose sur une idée qu'on ne rencontre nulle part ailleurs : montrer qu'une tribu est indépendante d'elle-même. Rappel — tribu terminale. On pose [formule]. Un événement de [formule] est un événement dont la réalisation ne dépend d'aucun nombre fini de termes : modifier [formule] ne peut pas le changer. Exemples typiques — la convergence d'une série, celle d'une suite, la valeur d'une limite supérieure. L'événement est terminal. Pour tout [formule] fixé, [formule] converge si et seulement si [formule] converge, les [formule] premiers termes formant une somme finie qui ne peut rien changer à la nature de la série. Donc [formule] Rappel — loi du zéro-un de Kolmogorov, et son mécanisme. Si les [formule] sont indépendantes, tout [formule] vérifie [formule]. La démonstration procède en trois pas. D'abord, pour chaque [formule], [formule] est indépendante de [formule]. Ensuite, la réunion [formule] est un [formule]-système, donc le lemme de Dynkin étend l'indépendance à la tribu qu'elle engendre, c'est-à-dire [formule] tout entière. Enfin cette dernière contient [formule] : la tribu terminale est donc indépendante d'elle-même, et pour [formule], [formule] ⚠️ Le passage par le [formule]-système n'est pas une formalité. L'indépendance vis-à-vis de chaque [formule] ne s'étend pas automatiquement à la tribu engendrée par leur réunion — cette réunion est une algèbre, pas une tribu, et c'est le lemme de Dynkin qui autorise le passage. C'est le seul point technique de la démonstration, et celui qu'on escamote le plus souvent. ⚠️⚠️ Ce que le théorème ne dit PAS : la SOMME n'est pas terminale. L'événement « la série converge » l'est, mais la variable aléatoire [formule] ne l'est pas — modifier [formule] modifie [formule]. Le zéro-un ne dit donc rien sur la loi de la somme, qui peut parfaitement être diffuse. Il tranche l'alternative « converge presque sûrement ou diverge presque sûrement », et rien de plus. Confondre les deux revient à croire qu'une limite terminale est constante, ce qui est faux ici. Les deux cas se produisent, et un critère les sépare. Avec [formule] équiprobables et indépendantes, la série converge presque sûrement ; avec [formule], elle diverge presque sûrement. Le théorème des trois séries de Kolmogorov donne le critère complet : pour des [formule] indépendantes, [formule] converge presque sûrement si et seulement si, pour un [formule] (donc pour tous), les trois séries [formule], [formule] et [formule] convergent, où [formule] désigne [formule] tronquée au niveau [formule]. 💡 À retenir. Le zéro-un est un théorème de dichotomie : il n'aide jamais à calculer, il garantit qu'il n'y a que deux réponses possibles. Son usage typique est stratégique — établir d'abord que la probabilité vaut [formule] ou [formule], puis chercher à exhiber un seul scénario de probabilité non nulle pour conclure qu'elle vaut [formule]. La loi de Hewitt-Savage en est la variante pour les événements échangeables, et elle donne par exemple que la marche aléatoire simple visite [formule] une infinité de fois avec probabilité [formule] ou [formule].