Soit [formule] i.i.d. de loi [formule]. Montrer que [formule] p.s.
Calculer [formule] et étudier pour [formule].
Le maximum d'un échantillon croît comme [formule] : c'est le résultat, et il est bien plus lent que ce que l'intuition suggère. La démonstration se fait en deux inégalités séparées, et la première réserve une difficulté que la rédaction habituelle escamote — Borel-Cantelli ne s'applique pas directement. La loi du maximum. Les [formule] étant indépendantes, [formule] où [formule]. Tout découle de cette formule exacte. Majoration — et le piège. Pour [formule], on a [formule], donc [formule] ⚠️ Or [formule] diverge dès que [formule] : le lemme de Borel-Cantelli est inapplicable tel quel, alors que c'est exactement ce que la plupart des rédactions écrivent à cet endroit. Le contournement par sous-suite. On applique Borel-Cantelli le long de [formule], pour laquelle [formule] — l'exposant [formule] valant au moins [formule] par construction. On obtient [formule] à partir d'un certain rang. Le recollement utilise deux faits : [formule] est croissante, et [formule]. Pour [formule], [formule] D'où [formule] presque sûrement. Minoration — celle-ci est directe. Pour [formule], [formule] en utilisant [formule]. La série [formule] converge, donc Borel-Cantelli s'applique cette fois sans détour : [formule] à partir d'un certain rang, presque sûrement. En faisant tendre [formule] vers [formule] le long d'une suite dénombrable, on conclut [formule] presque sûrement. Ce que le résultat cache, et qui est bien plus précis. La représentation de Rényi donne la loi exacte de [formule] comme somme [formule] d'exponentielles indépendantes, d'où [formule] La variance reste donc bornée — écart-type environ [formule] — alors que la moyenne croît. C'est pour cela que le rapport converge : la fluctuation est d'ordre [formule], négligeable devant [formule]. Mieux encore, [formule] converge en loi vers la distribution de Gumbel, de fonction de répartition [formule] : vérifié numériquement à six décimales dès [formule]. ⚠️ La convergence est extrêmement lente, et il faut le savoir avant de s'en servir. [formule] : à [formule] ce rapport vaut encore [formule], soit [formule] d'écart. Il faudrait [formule] pour descendre sous le pour-cent. Un résultat presque sûr ne dit rien de la vitesse, et ici la vitesse est en [formule] — la plus lente qui soit. 💡 À retenir. Deux enseignements de méthode. Quand Borel-Cantelli échoue faute de convergence de la série, la sous-suite plus recollement par monotonie est la parade standard, et elle exige une propriété de monotonie que l'énoncé doit fournir. Et l'énoncé « en [formule] » est la version grossière d'un résultat bien plus fin : la théorie des valeurs extrêmes classe toutes les limites possibles du maximum en trois familles — Gumbel, Fréchet et Weibull —, l'exponentielle relevant de la première.