Soit [formule] intégrable sur [formule]. Montrer que [formule].
Vrai pour une indicatrice, donc pour les fonctions en escalier. Comment passer au cas général — et dans quel ordre choisir [formule] et [formule] ?
La démonstration suit un schéma qu'on retrouve partout en théorie de l'intégration : établir le résultat sur une classe simple et dense, puis le propager par approximation. Ici la classe simple est celle des fonctions en escalier, où le calcul est explicite ; la densité fait le reste. Rappel — Densité des fonctions en escalier. Les fonctions en escalier sont denses dans [formule] : pour [formule] intégrable et [formule], il existe [formule] en escalier avec [formule]. C'est le seul ingrédient non élémentaire de la preuve, et il vient de la construction même de l'intégrale de Lebesgue. Étape 1 — le cas d'une indicatrice. Pour [formule], le calcul est direct : [formule], dont le module est majoré par [formule]. Les oscillations se compensent, et le facteur [formule] mesure exactement cette compensation. Étape 2 — les fonctions en escalier, par linéarité : une combinaison linéaire finie d'indicatrices d'intervalles, donc une somme finie de termes tendant chacun vers [formule]. Étape 3 — le cas général, par approximation. Soit [formule] et [formule]. Choisissons [formule] en escalier avec [formule], et découpons : [formule]. Le second terme est majoré uniformément en [formule] par [formule], puisque [formule]. Le premier tend vers [formule] par l'étape 2 : il est donc [formule] pour [formule] assez grand. Au total, [formule] dès que [formule] est assez grand, ce qui est exactement la conclusion. ⚠️ L'erreur classique. Croire que le résultat vient de « [formule] ». C'est faux : [formule] ne converge vers rien, ni simplement ni au sens [formule]. Ce qui tend vers [formule] est la corrélation entre [formule] et une oscillation de plus en plus rapide — les alternances de signe se compensent sur chaque petit intervalle où [formule] varie peu. Second piège : l'ordre des quantificateurs. Il faut choisir [formule] avant [formule], sinon la majoration du second terme ne serait pas uniforme et l'argument s'effondrerait. 💡 À retenir. Le schéma « vrai sur une classe dense + majoration uniforme du reste » démontre aussi la continuité des translations dans [formule], la densité de [formule], et le théorème de convergence dominée sur des cas particuliers. Conséquence directe du lemme : les coefficients de Fourier d'une fonction intégrable tendent vers [formule] — ce qui restreint fortement les suites pouvant être des suites de coefficients.