Soit [formule] vérifiant [formule] pour [formule]. Montrer que [formule].
On ne peut pas dériver l'hypothèse. Donnez un nom à [formule] et regardez ce que devient l'inégalité.
L'hypothèse porte sur une intégrale de [formule], pas sur [formule] : on ne peut donc rien dériver directement. L'astuce consiste à donner un nom à cette intégrale — [formule] — car [formule], elle, est dérivable, et l'hypothèse devient une inéquation différentielle sur [formule] qu'on sait résoudre par facteur intégrant. Rappel — Facteur intégrant. Pour toute fonction [formule] dérivable, [formule]. Multiplier par [formule] transforme donc une inéquation en [formule] en une inéquation sur une dérivée, qui s'intègre. C'est le même geste que pour résoudre [formule]. Supposons [formule] continue, [formule] et [formule]. Posons [formule], qui est [formule] avec [formule] et [formule]. L'hypothèse [formule] se réécrit exactement [formule], soit [formule]. En multipliant par [formule] — qui ne change pas le sens de l'inégalité : [formule]. On intègre entre [formule] et [formule], en utilisant [formule] : [formule], d'où [formule]. On revient enfin à [formule] par l'hypothèse de départ : [formule]. Le cas [formule], que la division par [formule] exclut, se traite directement : l'hypothèse devient [formule], et [formule]. La conclusion vaut donc encore. ⚠️ L'erreur classique. Dériver l'hypothèse pour écrire « [formule] ». Deux fautes en une : [formule] n'est pas supposée dérivable, et une inégalité ne se dérive pas — [formule] n'entraîne rien sur [formule] et [formule]. Tout l'intérêt de poser [formule] est de faire porter la dérivation sur un objet dont on contrôle la régularité. 💡 À retenir. Gronwall est l'outil des estimations a priori : c'est lui qui donne l'unicité dans Cauchy-Lipschitz (appliqué à la différence de deux solutions, avec [formule], il force [formule]), et la dépendance continue aux conditions initiales. Reconnaître sa forme — une fonction majorée par sa propre intégrale — vaut mieux que retenir sa conclusion.