Soit [formule] suite de fonctions positives mesurables. Montrer que [formule] liminf [formule] liminf [formule].
[formule] n'est pas une limite. Fabriquez-en une, croissante, dont c'est la limite.
On ne peut pas majorer directement [formule] : la limite inférieure n'est pas une limite, donc aucun théorème d'interversion ne s'applique tel quel. L'idée est de la fabriquer comme une limite croissante — c'est exactement la définition de [formule] — pour se ramener à la convergence monotone. Rappel — Convergence monotone. Si [formule] presque partout, alors [formule]. C'est le seul théorème utilisé ici, et il ne demande ni dominant, ni intégrabilité. La suite auxiliaire. Posons [formule]. Deux propriétés, et ce sont les deux dont on a besoin : la suite [formule] est croissante (l'infimum porte sur un ensemble qui rétrécit) et converge par définition vers [formule] ; et [formule] pour tout [formule], puisque [formule] fait partie des termes dont on prend l'infimum. Application de la convergence monotone. Les [formule] sont positives (comme infima de fonctions positives) et croissent vers [formule], donc [formule]. Passage à la limite inférieure. De [formule] on tire [formule]. Le membre de gauche converge, donc sa limite est aussi sa limite inférieure, et une limite inférieure conserve les inégalités larges : [formule]. En combinant les deux dernières lignes : [formule]. L'inégalité est bien STRICTE en général, et l'exemple est le même que partout dans ce chapitre — la bosse glissante. Pour [formule] : en tout point [formule] fixé, [formule] dès que [formule], donc [formule] et [formule]. Mais [formule] pour tout [formule], donc [formule]. On a bien [formule] : la masse s'est échappée à l'infini. ⚠️ L'erreur classique. Oublier l'hypothèse de positivité, qui n'est pas décorative. Avec [formule], le même calcul donne [formule] et [formule] : l'inégalité est renversée, Fatou est faux. Second piège : croire que [formule] et [formule] sont interchangeables — si [formule] convergeait, on serait dans le cadre de la convergence dominée, et Fatou n'aurait pas d'intérêt. 💡 À retenir. Fatou est le plus faible des trois théorèmes, et c'est ce qui le rend le plus robuste : il ne demande que la positivité. Il sert à démontrer la convergence dominée, et surtout à obtenir des majorations quand on ne sait rien de plus — typiquement pour montrer qu'une limite est intégrable avant même de savoir calculer son intégrale.