Lemme de Fatou

Énoncé

Soit [formule] suite de fonctions positives mesurables. Montrer que [formule] liminf [formule] liminf [formule].

Indication

Utiliser le théorème de convergence monotone.

Solution

Posons [formule]. Alors [formule] et [formule]. Par convergence monotone : [formule]. Comme [formule], on a [formule]. Donc [formule]. Conclusion : [formule] liminf [formule] liminf [formule].