Montrer que [a,b] est compact : de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Par l'absurde et par dichotomie. Où servent exactement « fermé » et « borné » — au même endroit ?
On ne peut pas extraire un sous-recouvrement fini « en choisissant bien » : rien ne guide le choix. On raisonne donc par l'absurde, en piégeant l'obstruction dans des segments de plus en plus courts — le même mécanisme de dichotomie que pour Bolzano-Weierstrass, et ce n'est pas une coïncidence. Rappel — Segments emboîtés. Une suite décroissante de segments [formule] dont la longueur tend vers [formule] a une intersection réduite à un point. C'est une forme de la complétude de [formule], et c'est le seul ingrédient de fond de la démonstration. Mise en place. Soit [formule] un recouvrement de [formule] par des ouverts. Supposons par l'absurde qu'aucune sous-famille finie ne recouvre [formule]. Dichotomie. Coupons [formule] en son milieu [formule]. Si chacune des deux moitiés admettait un sous-recouvrement fini, leur réunion en donnerait un pour [formule] : au moins une des deux n'en admet donc pas. On la note [formule] et on recommence. On construit ainsi des segments emboîtés [formule], de longueur [formule], dont aucun n'admet de sous-recouvrement fini. Le point limite. Leur intersection est un point [formule]. Comme [formule] recouvre [formule], il existe [formule] avec [formule]. Cet ensemble étant ouvert, il contient un intervalle [formule] pour un [formule]. La contradiction. Pour [formule] assez grand, [formule] et [formule], donc [formule]. Ce segment est alors recouvert par un seul ouvert — le plus fini des sous-recouvrements — ce qui contredit sa construction. L'hypothèse de départ est donc absurde : [formule] est compact. ⚠️ L'erreur classique. Oublier où servent les deux hypothèses, alors qu'elles sont indispensables et à des endroits différents. Borné : sans lui la dichotomie n'a pas de sens, et [formule] n'admet aucun sous-recouvrement fini. Fermé : sans lui le point limite [formule] peut sortir de l'ensemble, et [formule] non plus. Retirer l'une ou l'autre, et le théorème tombe. 💡 À retenir. C'est la moitié difficile du théorème de Heine-Borel : dans [formule], compact [formule] fermé borné. L'équivalence est propre à la dimension finie — en dimension infinie la boule unité fermée est fermée bornée et jamais compacte (théorème de Riesz), ce qui est la raison d'être du théorème d'Ascoli.