Si [formule] converge et [formule] monotone bornée, montrer que [formule] converge.
Analogue discret de l'IPP. Et demandez-vous à quel moment exact la MONOTONIE de [formule] intervient.
On ne peut pas conclure terme à terme : le produit de deux suites dont les séries se comportent bien n'a aucune raison d'être sommable. L'outil est la transformation d'Abel, qui est l'analogue discret de l'intégration par parties — elle déplace la difficulté de [formule], dont on ne contrôle que les sommes partielles, vers [formule], dont on contrôle les variations. Rappel — Transformation d'Abel. Avec [formule] et la convention [formule], on a [formule], d'où [formule]. Le produit [formule] joue le rôle du crochet, la somme celui de [formule]. Le terme tout intégré converge. [formule] converge, donc [formule] ; et [formule] est monotone bornée, donc convergente vers un [formule]. Le produit [formule] tend donc vers [formule] : ce terme ne pose aucun problème. La somme restante converge ABSOLUMENT. [formule] converge donc est bornée : il existe [formule] tel que [formule] pour tout [formule]. Alors [formule]. C'est ici que sert la monotonie, et elle seule. [formule] étant monotone, les écarts [formule] gardent un signe constant : leurs valeurs absolues se télescopent, et [formule], quantité finie. La série [formule] est donc absolument convergente, donc convergente. Les deux morceaux du membre de droite ayant une limite, [formule] converge. ⚠️ L'erreur classique. Croire que « [formule] bornée » suffit. Prenez [formule], dont la série converge par Leibniz, et [formule], bornée mais non monotone : alors [formule] et [formule] diverge. Sans monotonie, les [formule] ne se télescopent plus et la majoration s'effondre. 💡 À retenir. La transformation d'Abel est le réflexe devant [formule] où l'on contrôle les sommes partielles de l'un et les variations de l'autre. C'est elle qui démontre le critère de Dirichlet ([formule] bornée, [formule] décroissante vers [formule]), dont Leibniz est le cas [formule], et elle qui sert au comportement des séries entières au bord du disque.