Classifier toutes les isométries affines de [formule].
Distinguer selon [formule] et le nombre de points fixes.
Le même mécanisme qu'en dimension [formule] produit la liste, mais avec une différence structurelle qu'il faut voir : en dimension [formule], une isométrie directe peut n'avoir aucun point fixe sans être une translation — c'est le vissage, qui n'a pas d'analogue plan. Le critère, identique au cas plan. Toute isométrie s'écrit [formule] avec [formule]. On décompose [formule] selon [formule] et son orthogonal. La composante [formule] se résorbe en déplaçant le sous-espace fixe ; il reste [formule] Toute la classification consiste à énumérer les [formule] possibles, puis à distinguer [formule] ou non. Les éléments de [formule]. Si [formule], [formule] est une rotation d'axe une droite et d'angle [formule] — l'identité pour [formule] ; [formule] est alors cette droite (ou [formule] entier). Si [formule], alors [formule] est une rotation, et [formule] est une rotation composée d'une réflexion par rapport au plan orthogonal à son axe ; [formule] est ce plan si [formule] (réflexion pure), et réduit à [formule] sinon. Les isométries directes. [formule] Le vissage — rotation suivie d'une translation le long de l'axe — est le cas nouveau : en dimension [formule], une rotation non triviale a toujours un point fixe, faute d'axe le long duquel translater. Les isométries indirectes. [formule] Sept types en tout. L'antirotation a nécessairement un point fixe, [formule] étant réduit à [formule] : il n'y a donc pas de version « glissée ». ⚠️ Les types se recoupent aux valeurs dégénérées, et l'on compte parfois autrement. L'identité est la rotation d'angle [formule] et la translation de vecteur nul ; la symétrie centrale [formule] est l'antirotation d'angle [formule] ; la réflexion plane est l'antirotation d'angle [formule]. Selon qu'on les compte à part ou non, on lit « [formule] types » ou « [formule] ». L'important n'est pas le nombre mais le critère : [formule] détermine tout. 💡 À retenir. Le contraste avec le plan tient en une phrase : [formule] y est de dimension [formule], [formule] ou [formule], alors qu'en dimension [formule] il peut valoir [formule] — une droite, donc une direction de glissement pour une isométrie directe. C'est de là que vient le vissage, et c'est le théorème de Chasles : tout déplacement de l'espace est un vissage, la rotation et la translation en étant les cas dégénérés. Cartan-Dieudonné donne la borne correspondante : au plus [formule] réflexions planes, exactement [formule] pour un vissage.