Classifier toutes les isométries affines du plan euclidien.
Distinguer selon [formule] et points fixes.
La liste des quatre types se retient, mais elle se démontre, et la démonstration tient en un critère unique : la décomposition du vecteur de translation selon les directions fixées par la partie linéaire. C'est ce mécanisme qu'il faut comprendre, car il donne aussi la classification en dimension [formule] sans effort supplémentaire. Rappel — toute isométrie du plan est affine. Une application conservant les distances est nécessairement de la forme [formule] ce qui n'est pas évident et se démontre en montrant que [formule] conserve les milieux, donc les barycentres. Le groupe [formule] ne contient que deux sortes d'éléments : les rotations vectorielles ([formule]) et les réflexions vectorielles ([formule]). Cas [formule] — les isométries DIRECTES. Si [formule], alors [formule] est la translation de vecteur [formule] (l'identité si [formule]). Si [formule] est une rotation d'angle [formule], alors [formule] donc [formule] est inversible et l'équation de point fixe [formule] a une unique solution : [formule] est la rotation d'angle [formule] autour de ce point. Il n'y a pas d'autre cas — une isométrie directe est une translation ou une rotation. Cas [formule] — les isométries INDIRECTES. [formule] est alors une réflexion vectorielle, de valeurs propres [formule] et [formule] ; notons [formule] et [formule] des vecteurs propres associés. Décomposons [formule] selon [formule] et [formule]. La composante [formule] se rattrape en déplaçant l'axe — c'est le même mécanisme que le point fixe ci-dessus, appliqué à la direction où [formule] est inversible. Il reste [formule] Si [formule] : c'est une réflexion, dont l'ensemble des points fixes est une droite. Sinon : une réflexion glissée, sans aucun point fixe. Le critère unifié. Dans tous les cas, la classification se lit sur deux données : le signe de [formule] et la composante de [formule] dans [formule]. Cette composante est nulle si et seulement si [formule] a un point fixe. D'où le tableau : direct avec point fixe donne une rotation, direct sans donne une translation ; indirect avec point fixe donne une réflexion, indirect sans donne une réflexion glissée. ⚠️ Une isométrie indirecte n'a JAMAIS exactement un point fixe. Son ensemble de points fixes est une droite ou est vide, jamais un singleton — car la partie linéaire a [formule] pour valeur propre, donc le système de point fixe est de rang [formule]. Chercher « le » centre d'une réflexion glissée n'a donc aucun sens, et une isométrie qui fixe un seul point est forcément une rotation. 💡 À retenir. Deux faits structurels. Les isométries directes forment un sous-groupe d'indice [formule] — la composée de deux indirectes est directe —, ce qui explique que le groupe des isométries planes soit un produit semi-direct [formule]. Et le théorème de Cartan-Dieudonné : toute isométrie du plan est produit d'au plus [formule] réflexions, une réflexion glissée en demandant exactement [formule].