Calculer [formule].
⚠️ [formule] n'est PAS intégrable : Fubini ne s'applique pas. Introduisez [formule], dérivez en [formule], puis faites tendre [formule] vers [formule].
Cette intégrale est semi-convergente : elle converge, mais [formule]. C'est le fait qui gouverne tout l'exercice — toute méthode exigeant l'intégrabilité absolue, Fubini au premier chef, est inapplicable. On contourne l'obstacle par un facteur de convergence [formule], qui rend le problème absolument convergent, et qu'on fait disparaître à la fin. Pourquoi Fubini échoue, précisément. L'idée naturelle est d'écrire [formule] et de permuter. Mais alors [formule], qui diverge : sur [formule] l'intégrale vaut au moins [formule], et la série harmonique diverge. Numériquement, l'intégrale tronquée croît comme [formule]. L'hypothèse de Fubini est donc fausse, et l'invoquer serait une faute — non un détail de rédaction. La bonne route : régulariser. Pour [formule], posons [formule]. Le facteur [formule] rend l'intégrale absolument convergente (car [formule]), ce qui débloque tous les théorèmes. Dérivation sous l'intégrale. [formule] pour [formule], dominant intégrable. Donc [formule], cette dernière intégrale se calculant par deux intégrations par parties (ou en prenant la partie imaginaire de [formule]). Intégration et condition au bord. On en tire [formule]. Or [formule] quand [formule], et [formule] : donc [formule] et [formule]. Vérifié numériquement en [formule], [formule] et [formule]. Passage à la limite [formule]. C'est l'étape délicate, l'intégrale n'étant pas absolument convergente. On la justifie par le théorème d'Abel (ou par une intégration par parties rendant l'intégrale absolument convergente), et l'on obtient [formule]. ⚠️ L'erreur classique, et l'exercice la portait : appliquer Fubini en écrivant « (à justifier) ». Ce n'est pas une justification manquante, c'est une hypothèse fausse. Le réflexe qui protège : avant toute permutation, tester l'intégrabilité de [formule] par Tonelli — ici le test échoue immédiatement, ce qui oriente vers la bonne méthode au lieu de faire perdre du temps. 💡 À retenir. Le facteur de convergence [formule] est un outil général pour les intégrales semi-convergentes : il rend le problème absolument convergent, on résout, puis on relâche le paramètre. Le même procédé donne les intégrales de Fresnel [formule], et c'est l'idée qui fonde la transformée de Laplace comme régularisation de celle de Fourier.