Calculer la transformée de Fourier de [formule], vérifier que les hypothèses du théorème d'inversion sont satisfaites, et contrôler la formule d'inversion en [formule].
Coupez en deux demi-droites pour supprimer la valeur absolue, et surveillez le signe de la partie réelle de l'exposant.
La valeur absolue interdit un calcul direct : on coupe en deux demi-droites où [formule] devient [formule] ou [formule], et chaque morceau est une intégrale d'exponentielle complexe, immédiate. Les deux résultats sont conjugués l'un de l'autre, ce qui garantit que la somme est réelle. Rappel — Convention et inversion. On pose [formule]. Le théorème d'inversion affirme que si [formule] et [formule] sont toutes deux intégrables et [formule] continue, alors [formule]. Calcul, demi-droite par demi-droite. Sur [formule] : [formule], la partie réelle de l'exposant étant [formule], ce qui assure la convergence. Sur [formule] : [formule]. Somme. En réduisant au même dénominateur, les parties imaginaires s'annulent : [formule]. Le résultat est réel et pair, comme il se doit pour la transformée d'une fonction réelle paire. Les hypothèses d'inversion sont réunies : [formule] est continue, [formule] (d'intégrale [formule]), et [formule] car elle décroît en [formule]. Le théorème s'applique donc, et il donne [formule] pour tout [formule]. Contrôle en [formule], où l'intégrale se calcule à la main : le changement de variable [formule] donne [formule] ✓. ⚠️ L'erreur classique. Croire que ce contrôle en [formule] démontre la formule d'inversion. Il la vérifie en un point ; l'établir pour tout [formule] demande le théorème (ou un calcul de résidus). Confondre une vérification ponctuelle avec une preuve est exactement ce qu'un jury relève. Second piège : oublier de justifier que [formule] est intégrable — c'est une hypothèse du théorème, pas une conséquence. 💡 À retenir. Une valeur absolue, une fonction définie par morceaux, un support borné : on coupe et on somme, en surveillant le signe de la partie réelle de l'exposant. Et retenir ce couple, qui revient sans cesse : [formule] a pour transformée une lorentzienne, et réciproquement — la décroissance exponentielle d'un côté correspond à une décroissance seulement polynomiale de l'autre.