Soit [formule] de rang [formule]. Montrer qu'il existe une unique [formule] telle que [formule], [formule], [formule], [formule].
Utiliser la SVD : [formule].
La construction par SVD est courte. L'unicité, en revanche, était laissée en suspens — « montrer que toute solution coïncide » n'est pas une démonstration. Elle tient pourtant en deux lignes, et elle a le mérite d'utiliser les quatre conditions de Penrose, ce qui montre qu'aucune n'est superflue. Rappel — la décomposition en valeurs singulières. Toute [formule] de rang [formule] s'écrit [formule] avec [formule], [formule] et [formule] « diagonale » de coefficients [formule] puis des zéros. Les [formule] sont les racines des valeurs propres non nulles de [formule]. Construction. On pose [formule] — on inverse ce qui est inversible et l'on laisse le reste à zéro — puis [formule] Le point clé est que [formule] et [formule] sont des matrices diagonales de projection (des [formule] sur les [formule] premières positions, des [formule] ensuite), donc symétriques et idempotentes. Les quatre conditions. [formule], puisque [formule]. Symétriquement [formule]. Et [formule] est symétrique parce que [formule] l'est, de même pour [formule]. Les quatre conditions sont vérifiées. L'unicité, la démonstration qui manquait. Soient [formule] et [formule] vérifiant les quatre conditions. Alors [formule] et le même enchaînement par la gauche donne [formule] Donc [formule]. Les quatre conditions y servent — la symétrie de [formule] dans la première chaîne, celle de [formule] dans la seconde. Ce que [formule] fait géométriquement. [formule] est le projecteur orthogonal sur [formule], et [formule] celui sur [formule] — les conditions de symétrie sont précisément ce qui impose l'orthogonalité de ces projections, un projecteur oblique vérifierait les deux premières conditions seulement. C'est ce qui donne l'application aux moindres carrés : [formule] minimise [formule], et parmi tous les minimiseurs c'est celui de norme minimale, puisqu'il vit dans [formule]. ⚠️ [formule] n'est PAS l'inverse quand [formule] n'est pas inversible, et les identités familières tombent. [formule] en général — c'est un projecteur, de rang [formule] si [formule] n'est pas surjective. De plus [formule] en général, alors que l'égalité vaut toujours pour l'inverse ordinaire. Seule la propriété [formule] survit intacte. 💡 À retenir. Le pseudo-inverse résout par une formule unique les trois cas d'un système [formule] : solution exacte si le système est de Cramer, solution des moindres carrés s'il est surdéterminé, solution de norme minimale s'il est sous-déterminé. En pratique, on ne le calcule jamais explicitement — on résout par [formule] ou par SVD, plus stables numériquement que la formation de [formule], dont le conditionnement est le carré de celui de [formule].