Calculer [formule].
Ramenez la borne mobile à une indicatrice sur [formule]. La suite est-elle croissante ? Et connaissez-vous un dominant ?
Deux obstacles à la fois : la fonction intégrée dépend de [formule], et la borne d'intégration aussi. On règle le second en écrivant l'intégrale sur [formule] avec une indicatrice, ce qui ramène à un unique théorème d'interversion — et ici les deux grands théorèmes s'appliquent. Rappel — Les deux théorèmes. Convergence monotone : si [formule] presque partout, alors [formule], sans autre hypothèse. Convergence dominée : si [formule] p.p. et [formule] avec [formule] intégrable, même conclusion. La première ne demande aucun dominant, la seconde ne demande aucune monotonie. Mise sous forme unique. Posons [formule] sur [formule], de sorte que [formule]. Limite simple et monotonie. Pour [formule] fixé, [formule] croît vers [formule] (croissance qu'on obtient par concavité du logarithme, ou par AM-GM). Dès que [formule] l'indicatrice vaut [formule], donc [formule]. La suite est positive et croissante : convergence monotone. [formule]. Par convergence dominée, au choix. L'inégalité [formule] — valable pour tout [formule] et tout [formule], puisque [formule] — donne [formule], qui est intégrable sur [formule]. Le dominant ne dépend pas de [formule] : c'est la seule chose à vérifier. ⚠️ L'erreur classique. Passer à la limite dans l'intégrande et dans la borne sans justification, en écrivant directement [formule]. Le résultat est juste, la démarche ne l'est pas — et sur un autre exemple elle serait fausse (voir la bosse glissante de l'exercice « Convergence uniforme et intégration », où [formule]). Second piège : croire que [formule] est évident. C'est une inégalité qui se démontre, en une ligne, par [formule]. 💡 À retenir. Une borne d'intégration qui bouge se ramène toujours à une indicatrice : on retrouve alors le cadre standard des théorèmes de convergence. Et devant une suite croissante et positive, préférer la convergence monotone : elle n'exige aucun dominant, donc aucune majoration à trouver.