Soit [formule] pour [formule]. Montrer que [formule] est [formule] sur [formule].
Calculez la dérivée [formule]-ième, puis cherchez un majorant qui ne dépende PAS de [formule]. Jusqu'où la domination est-elle valable ?
Dériver sous le signe intégral est un geste réflexe, et c'est précisément pour cela qu'il faut en connaître les hypothèses : il ne suffit pas que la dérivée partielle existe, il faut la dominer par une fonction intégrable indépendante du paramètre. Ici la domination est facile, et l'exercice consiste surtout à la produire proprement pour tout ordre de dérivation. Rappel — Dérivation sous l'intégrale. Soit [formule]. Si [formule] est dérivable pour presque tout [formule], si [formule] est intégrable, et s'il existe [formule] intégrable, indépendante de [formule], telle que [formule] pour tout [formule], alors [formule] est dérivable et [formule]. L'indépendance en [formule] du dominant est l'hypothèse qui compte. Les dérivées successives. Pour [formule], une récurrence immédiate donne [formule] — chaque dérivation fait descendre un facteur [formule] et augmente d'un l'exposant du dénominateur. On le vérifie sur [formule] : [formule]. La domination. Pour [formule] et [formule], on a [formule], donc [formule]. Ce majorant ne dépend pas de [formule], et il est intégrable sur [formule] : [formule], l'intégrale valant donc [formule]. Le théorème s'applique donc à tout ordre, et [formule] est de classe [formule] — non seulement sur [formule] comme demandé, mais sur [formule] tout entier, la domination étant valable jusqu'en [formule]. On a [formule], et en particulier [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Se contenter de « la dérivée partielle existe et est continue ». Cela ne suffit pas : le dominant doit exister et ne pas dépendre de [formule]. L'exemple qui le montre est [formule], qui vaut [formule] pour tout [formule] et [formule] en [formule] — donc discontinue en [formule], alors que l'intégrande est [formule] en [formule] : aucun dominant uniforme n'existe au voisinage de [formule]. 💡 À retenir. Le schéma est toujours le même : calculer [formule], la majorer par une fonction de [formule] seule, vérifier que ce majorant est intégrable. Quand la domination n'est valable que sur [formule], on conclut à la régularité sur cet intervalle puis on fait tendre [formule] vers [formule] — la dérivabilité étant une propriété locale, cela suffit.