Comparer les intégrales de Riemann et de Lebesgue sur deux exemples : la fonction de Dirichlet [formule], et la fonction de Thomae ([formule] pour [formule] réduit, [formule] sur les irrationnels). Laquelle est Riemann-intégrable, et pourquoi ?
Le critère ne porte pas sur le NOMBRE de discontinuités mais sur leur MESURE. Comparez les deux ensembles de discontinuités.
La question n'est pas « laquelle des deux intégrales est la meilleure » mais où passe exactement la frontière. Le critère de Lebesgue la trace précisément, et deux exemples suffisent à voir qu'elle n'est pas là où l'intuition la place. Rappel — Critère d'intégrabilité de Riemann (Lebesgue). Une fonction bornée sur [formule] est Riemann-intégrable si et seulement si son ensemble de points de discontinuité est de mesure nulle. Ce n'est donc pas le nombre de discontinuités qui compte, mais leur mesure — un ensemble dénombrable, si dense soit-il, est de mesure nulle. Premier exemple : la fonction de Dirichlet [formule]. Elle est discontinue en tout point : tout intervalle contient des rationnels et des irrationnels, donc les valeurs [formule] et [formule] y coexistent. Son ensemble de discontinuités est [formule], de mesure [formule] : elle n'est pas Riemann-intégrable — ses sommes de Darboux inférieure et supérieure valent [formule] et [formule] quelle que soit la subdivision. Au sens de Lebesgue, en revanche, [formule] est dénombrable donc de mesure nulle : la fonction est nulle presque partout, et [formule]. L'intégrale existe sans difficulté. Second exemple, et c'est lui qui surprend : la fonction de Thomae. Posons [formule] si [formule] est rationnel réduit, et [formule] si [formule] est irrationnel. Elle est discontinue exactement aux rationnels — un ensemble dénombrable, donc de mesure nulle. Par le critère, elle est Riemann-intégrable, d'intégrale [formule]. Deux fonctions discontinues sur un ensemble dense, et une seule des deux échappe à Riemann. ⚠️ L'erreur classique. Croire que « discontinue sur un ensemble dense » entraîne « non Riemann-intégrable ». La fonction de Thomae réfute cette implication. Ce qui bloque Riemann n'est pas la densité des discontinuités mais leur mesure — et pour la fonction de Dirichlet, c'est la discontinuité en tout point, y compris les irrationnels, qui la condamne. 💡 À retenir. Riemann découpe l'abscisse en petits intervalles et suppose que [formule] y varie peu — d'où l'exigence de continuité presque partout. Lebesgue découpe l'ordonnée et mesure les préimages : la structure de [formule] en abscisse ne le gêne plus. C'est ce renversement qui rend les théorèmes de convergence (monotone, dominée) possibles, alors qu'ils sont faux pour Riemann — une limite simple de fonctions Riemann-intégrables peut ne pas l'être, comme le montre une énumération croissante des rationnels.