Soit [formule]. Montrer que [formule] p.p. et [formule] pour tout [formule], bien que [formule] ne soit pas Riemann-intégrable.
[formule] est dénombrable, donc de mesure nulle.
La fonction indicatrice [formule] est nulle presque partout (mesure de Lebesgue). Donc [formule] p.p. pour tout [formule]. [formule] (intégrale de Lebesgue d'une fonction nulle p.p.). Mais [formule] n'est pas Riemann-intégrable car discontinue sur un ensemble dense. C'est la force de Lebesgue : on peut intégrer des fonctions que Riemann ne peut pas traiter. [formule]