Calculer [formule].
Aucune primitive élémentaire : calculez [formule] comme une intégrale double, et cherchez la symétrie qu'elle révèle.
[formule] n'a aucune primitive élémentaire : le calcul direct est impossible, et c'est ce qui rend l'astuce nécessaire. On calcule [formule] plutôt que [formule], parce que le carré fait apparaître [formule] — une fonction à symétrie de révolution, que les coordonnées polaires rendent triviale. Rappel — Théorème de Tonelli. Pour une fonction positive mesurable, l'intégrale double se calcule comme une intégrale itérée, sans aucune hypothèse d'intégrabilité préalable. C'est ce qui autorise ici à écrire [formule] comme une intégrale sur [formule] : Fubini exigerait de savoir la fonction intégrable, Tonelli non — et la positivité de [formule] nous la donne gratuitement. Convergence préalable. Pour [formule] on a [formule], qui est intégrable : [formule] converge donc, et [formule] puisqu'on intègre une fonction strictement positive. Passage au carré. [formule] par Tonelli. Coordonnées polaires. Le changement de variables [formule], [formule] est un [formule]-difféomorphisme de [formule] sur [formule] privé d'une demi-droite — un ensemble de mesure nulle, donc sans effet sur l'intégrale. Son jacobien vaut [formule], d'où [formule]. [formule]. Le facteur [formule] du jacobien est exactement ce qui rend l'intégrale radiale élémentaire : sans lui, on retomberait sur le problème de départ. Comme [formule], on conclut [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Invoquer Fubini au lieu de Tonelli. Fubini demande [formule] — c'est-à-dire précisément ce qu'on est en train d'établir : le raisonnement serait circulaire. Sur une fonction positive, c'est Tonelli qu'on cite, et il ne demande rien. Second oubli : le jacobien [formule], sans lequel on écrit [formule] et on tourne en rond. 💡 À retenir. Le procédé — élever au carré pour gagner une symétrie — sert chaque fois qu'une intégrale unidimensionnelle résiste alors que sa version radiale ne résiste pas. Retenir aussi la conséquence immédiate : la densité gaussienne [formule] est bien de masse [formule], et c'est ce calcul qui fournit sa constante de normalisation.