Montrer que [formule].
Regroupez cosinus et sinus en [formule]. Sur quelle droite du plan complexe [formule] devient-il une gaussienne ?
Ces intégrales sont semi-convergentes — [formule] ne tend même pas vers [formule] — et aucune primitive élémentaire n'existe. On les obtient en les regroupant en une seule intégrale complexe [formule], puis en tournant le contour de [formule] : sur cette droite, l'oscillation se change en décroissance gaussienne. Rappel — Le point de départ. [formule], et l'on connaît [formule] (intégrale de Gauss). Toute la démonstration consiste à relier ces deux intégrales. Le contour. On intègre [formule], fonction entière, sur le bord du secteur d'angle [formule] et de rayon [formule] : le segment [formule], l'arc [formule], puis le retour le long de la droite [formule]. L'intégrande étant holomorphe partout, le théorème de Cauchy donne une intégrale nulle sur ce contour fermé. Le côté oblique, et c'est là que tout se joue. Sur la droite [formule], on a [formule], donc [formule] : l'exponentielle oscillante devient gaussienne. Avec [formule], la contribution vaut [formule]. L'arc tend vers [formule]. Sur [formule], [formule], et la majoration de Jordan [formule] sur [formule] donne [formule]. Sans cette étape, rien ne relie les deux côtés. Conclusion. L'intégrale sur le contour étant nulle, le segment réel égale le côté oblique : [formule]. En séparant parties réelle et imaginaire : [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Croire que ces intégrales convergent parce que l'intégrande tend vers [formule] — il n'en fait rien, [formule] oscille indéfiniment entre [formule] et [formule]. Ce qui les fait converger est que les oscillations deviennent de plus en plus rapides, donc se compensent : le changement [formule] donne [formule], semi-convergente par le critère d'Abel. Second oubli, silencieux : ne pas majorer l'arc, ce qui laisse la démonstration sans lien entre ses deux morceaux. 💡 À retenir. « Tourner le contour pour changer une oscillation en décroissance » est le procédé central de la méthode de la phase stationnaire et du col. Et l'égalité des deux intégrales de Fresnel n'est pas un hasard : elle traduit que l'argument du résultat vaut exactement [formule], c'est-à-dire l'angle de rotation choisi.