[formule], [formule]. Montrer [formule].
Majorer [formule] par [formule].
L'inégalité de Markov est la brique élémentaire de toute la théorie de la concentration : Bienaymé-Tchebychev en découle, et la loi faible des grands nombres en découle à son tour. Sa démonstration tient en une majoration ponctuelle, et c'est cette économie qui fait sa portée — elle ne suppose rien sur [formule] hormis sa positivité. L'idée en une phrase. On veut majorer la probabilité que [formule] soit grande en ne connaissant que sa moyenne. Le levier : une variable positive qui dépasse souvent [formule] ne peut pas avoir une petite moyenne, puisque ces dépassements pèsent dans l'intégrale et que le reste, étant positif, ne peut rien venir compenser. La majoration ponctuelle. Pour tout [formule], comparons [formule] à [formule] : [formule] Il y a deux cas, et il faut les écrire tous les deux. Si [formule], l'indicatrice vaut [formule] et l'inégalité s'écrit [formule], ce qui est l'hypothèse du cas. Sinon l'indicatrice vaut [formule] et l'inégalité s'écrit [formule] — c'est ici, et seulement ici, que sert la positivité. Passage à l'espérance. L'espérance est croissante, donc [formule] la dernière égalité étant la définition même de l'espérance d'une indicatrice. Comme [formule], on divise : [formule] L'inégalité est optimale, ce qui ne va pas de soi pour une majoration aussi grossière. Fixons [formule] et [formule] avec [formule], et prenons [formule] valant [formule] avec probabilité [formule] et [formule] sinon. Alors [formule] et [formule] exactement. Aucune amélioration n'est donc possible sans hypothèse supplémentaire : ce n'est pas une majoration paresseuse, c'est le prix exact de ce qu'on ignore. ⚠️ La positivité n'est pas une clause de style. Sans elle l'énoncé est faux : si [formule] vaut [formule] ou [formule] avec probabilité [formule] chacune, alors [formule] et la borne [formule] est négative, alors que [formule]. Une probabilité majorée par un nombre négatif — l'absurdité vient uniquement de l'hypothèse abandonnée. 💡 À retenir. Appliquer Markov à [formule] avec le seuil [formule] donne immédiatement Bienaymé-Tchebychev. Plus généralement, l'appliquer à [formule] pour [formule] croissante positive est le procédé standard : avec [formule], puis optimisation en [formule], on obtient les bornes de Chernoff, exponentiellement meilleures.