Soit [formule] une v.a. intégrable et [formule] convexe. Montrer que [formule].
Tangente en [formule] : [formule].
La démonstration tient en trois lignes une fois qu'on dispose de la droite d'appui en [formule]. Tout l'enjeu est donc de justifier son existence, ce qu'on écrit souvent d'un « comme [formule] est convexe, il existe [formule] tel que… » un peu rapide. Et une fois l'inégalité acquise, elle contient à elle seule une bonne partie des inégalités classiques. Rappel — la droite d'appui, et pourquoi elle existe. Une fonction convexe sur un intervalle ouvert admet en tout point [formule] une dérivée à gauche [formule] et une dérivée à droite [formule], finies et vérifiant [formule]. Pour tout [formule] choisi dans cet intervalle, [formule] On le voit sur la définition de la convexité : le taux d'accroissement [formule] est croissant en [formule], donc majoré par [formule] à gauche de [formule] et minoré par [formule] à droite — dans les deux cas l'inégalité se réarrange dans le bon sens. Si [formule] est dérivable, [formule] est l'unique choix. La démonstration. Posons [formule], fini par hypothèse d'intégrabilité. La droite d'appui en [formule] donne, appliquée en [formule] pour chaque [formule], [formule] La croissance de l'espérance donne alors [formule] Le terme linéaire s'annule exactement parce que [formule] a été choisi égal à [formule] : c'est le seul point où la démonstration fonctionne. Un point technique qu'il faut savoir traiter. [formule] n'est pas supposée intégrable, et elle peut ne pas l'être. L'inégalité reste vraie dans [formule] : la minoration ci-dessus montre que la partie négative de [formule] est intégrable, donc [formule] est bien défini, éventuellement égal à [formule] — auquel cas l'inégalité est triviale. Le cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si [formule] presque sûrement, c'est-à-dire si [formule] vit presque sûrement dans l'ensemble où [formule] coïncide avec sa droite d'appui. Deux situations donc : soit [formule] est presque sûrement constante, soit [formule] est affine sur le support de [formule]. Pour [formule] strictement convexe, seule la première subsiste. Ce que l'inégalité contient. Trois classiques en découlent d'un choix de [formule]. Avec [formule] : [formule], c'est-à-dire [formule]. Avec [formule] sur [formule] : [formule], soit moyenne harmonique [formule] moyenne arithmétique. Avec [formule] : [formule], donc [formule] qui appliqué à la loi uniforme sur [formule] donne l'inégalité arithmético-géométrique [formule]. Contrôle sur [formule] : [formule] pour les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. ⚠️ Le sens de l'inégalité dépend de la convexité, et l'oubli est fréquent. Pour [formule] concave tout se renverse : [formule], par exemple [formule]. Le moyen mnémotechnique fiable est de tester sur [formule], où l'on sait que [formule] puisque la variance est positive : cela fixe le sens pour tous les convexes. 💡 À retenir. Jensen est la traduction probabiliste d'un fait géométrique : une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes. La démonstration ne fait rien d'autre que d'appliquer ce fait en [formule] et de prendre l'espérance — et le choix de ce point précis est ce qui annule le terme linéaire. Retenir le mécanisme, pas la formule : il resservira pour Hölder, pour l'entropie et pour l'inégalité de l'information.