Inégalité de Jensen - Preuve générale

Énoncé

Soit [formule] une v.a. intégrable et [formule] convexe. Montrer que [formule].

Indication

Tangente en [formule] : [formule].

Solution

Soit [formule]. Comme [formule] est convexe, il existe [formule] tel que : [formule] pour tout [formule] (sous-tangente). Appliquer en [formule] et prendre l'espérance : [formule]. Application : [formule] (avec [formule]), i.e. [formule]. [formule]