Soit X variable aléatoire positive d'espérance [formule]. Montrer que [formule] (inégalité de Jensen).
Quelle fonction [formule] fait passer de [formule] à [formule] ? Étudiez le signe de [formule] sur [formule].
L'inégalité demandée compare [formule] à [formule], c'est-à-dire l'espérance d'une fonction de [formule] à cette fonction de l'espérance. C'est exactement la forme que traite Jensen — reste à identifier la fonction et à établir sa convexité. Rappel — Inégalité de Jensen. Si [formule] est convexe sur un intervalle [formule], si [formule] est à valeurs dans [formule] et si [formule] est intégrable, alors [formule]. Pour [formule] concave, l'inégalité est renversée. Si [formule] est strictement convexe, l'égalité a lieu si et seulement si [formule] est presque sûrement constante. D'où vient Jensen, en une ligne qui vaut mieux que la formule apprise. Une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : en posant [formule], il existe une pente [formule] telle que [formule] pour tout [formule]. On applique en [formule] et on prend l'espérance : [formule]. Tout Jensen tient dans ce calcul. Ici [formule] sur [formule]. On dérive deux fois : [formule] puis [formule], qui est [formule] sur [formule]. Donc [formule] y est strictement convexe. [formule] est à valeurs dans [formule] et d'espérance [formule] finie : les hypothèses de Jensen sont réunies. On obtient [formule]. Le cas d'égalité découle de la convexité stricte : [formule] si et seulement si [formule] est presque sûrement constante, donc [formule] p.s. ⚠️ L'erreur classique. Écrire [formule]. L'espérance est linéaire, elle ne commute pas avec les fonctions non affines — et cette inégalité mesure précisément l'écart. Second piège : se tromper de sens. Le moyen sûr est de refaire le cas à deux valeurs, [formule] équiprobables : [formule] tandis que [formule]. C'est bien [formule]. Contrôle numérique, refaisable de tête. Prenons [formule] valant [formule] ou [formule] avec probabilité [formule]. Alors [formule] donc [formule], tandis que [formule]. L'inégalité est bien vérifiée, avec un écart de [formule] — et cet écart mesure exactement la dispersion de [formule] : il s'annulerait si [formule] était constante. 💡 À retenir. Dès qu'une inégalité oppose [formule] à [formule], le réflexe est Jensen : il ne reste qu'à établir le signe de [formule]. Ce résultat dit aussi que la moyenne harmonique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.