Montrer que pour u,v dans un espace préhilbertien : [formule].
Étudier [formule] pour [formule].
La démonstration par le discriminant est celle que tout le monde écrit, et elle comporte un trou que presque toutes les rédactions laissent passer : si [formule], l'expression n'est plus un trinôme et le discriminant n'a aucun sens. L'exercice voisin traite les conséquences dans [formule] ; celui-ci s'attache à la démonstration elle-même, cas dégénéré et cas d'égalité compris. Rappel — le cadre. Un espace préhilbertien réel est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire : forme bilinéaire, symétrique, définie positive — c'est-à-dire [formule] avec égalité seulement pour [formule]. On pose [formule], et l'on veut montrer [formule]. ⚠️ Le cas [formule], qu'il faut écarter EN PREMIER. Si [formule], alors [formule] et [formule] : l'inégalité s'écrit [formule], elle est vraie. Mais la démonstration qui suit ne s'applique pas — [formule] y serait un polynôme constant, dont le discriminant n'est pas défini. Écrire « trinôme de degré [formule] toujours positif, donc [formule] » suppose implicitement [formule], et c'est une hypothèse qu'il faut poser. Le cas [formule] : le trinôme. Pour tout [formule], la positivité du produit scalaire donne [formule] le développement utilisant la bilinéarité puis la symétrie pour regrouper les deux termes croisés. Comme [formule], c'est un vrai trinôme du second degré en [formule], de signe constant positif. Conclusion. Un trinôme de coefficient dominant positif reste positif si et seulement si son discriminant est négatif ou nul : [formule] puis en prenant la racine carrée, [formule]. Le cas d'égalité, traité proprement. Il y a égalité si et seulement si [formule], c'est-à-dire si le trinôme a une racine double [formule]. Alors [formule], donc [formule] par le caractère défini du produit scalaire — c'est là et seulement là qu'il sert. Les vecteurs sont donc colinéaires ; réciproquement, si [formule], les deux membres valent [formule]. En incluant le cas [formule], écarté plus haut et où [formule] et [formule] sont bien colinéaires, on conclut : égalité si et seulement si la famille [formule] est liée. ⚠️ Sur un espace COMPLEXE, la démonstration doit être modifiée. Le produit scalaire y est hermitien, donc [formule], et le développement de [formule] fait apparaître [formule] au lieu de [formule] — on n'obtiendrait donc qu'une majoration de la partie réelle. Le remède standard est de remplacer [formule] par [formule] avec [formule] choisi pour rendre [formule] réel positif, ce qui ne change pas [formule]. 💡 À retenir. La démonstration ne suppose ni dimension finie, ni base : elle vaut dans tout préhilbertien, y compris [formule], où elle donne [formule]. Le mécanisme — construire un polynôme positif et lire son discriminant — resservira pour d'autres inégalités, et le caractère défini du produit scalaire n'intervient qu'une fois, dans le cas d'égalité.