Démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : pour [formule], [formule].
Le logarithme transforme un produit en somme. Est-il convexe ou concave ?
L'inégalité compare un produit à une somme : le logarithme est l'outil qui transforme l'un en l'autre. Une fois passé au log, l'énoncé devient exactement une inégalité de Jensen pour une fonction concave — il n'y a plus rien à inventer. Rappel — Inégalité de Jensen (cas fini). Si [formule] est concave sur un intervalle [formule] et [formule], alors [formule]. Pour [formule] convexe, l'inégalité est renversée. Si la concavité est stricte, l'égalité impose [formule]. [formule] est deux fois dérivable sur [formule] avec [formule] : elle y est strictement concave. Les [formule] étant [formule], Jensen s'applique et donne [formule]. Le membre de gauche se recompose : [formule]. [formule] étant strictement croissante, on peut composer par [formule] sans changer le sens : [formule]. La stricte concavité donne le cas d'égalité : si et seulement si [formule]. Une lecture utile. Prise avec [formule], l'inégalité s'écrit [formule], c'est-à-dire [formule]. Et combinée à sa version appliquée aux [formule], elle donne la chaîne complète harmonique [formule] géométrique [formule] arithmétique. ⚠️ L'erreur classique. Se tromper de sens en oubliant que [formule] est concave et non convexe. Le contrôle qui ne trompe jamais : tester sur [formule], [formule]. La moyenne géométrique vaut [formule], l'arithmétique [formule] — c'est bien la géométrique la plus petite. Second point : l'hypothèse [formule] est indispensable, ne serait-ce que pour que [formule] existe. 💡 À retenir. « Produit contre somme » appelle le logarithme, et « moyenne d'images contre image de la moyenne » appelle Jensen. C'est le même couple qui démontre l'inégalité de Young — donc Hölder — en remplaçant les poids [formule] par [formule] et [formule].