Soit [formule] un espace de Hilbert et [formule] un convexe fermé non vide. Montrer que pour tout [formule], il existe un unique [formule] tel que [formule].
Trois hypothèses, trois rôles distincts : convexe, fermé, complet. Repérez où chacune sert exactement.
L'existence ne peut pas venir d'un argument de compacité : la boule d'un Hilbert de dimension infinie n'est pas compacte. C'est la complétude qui remplace la compacité, et l'outil qui y donne accès est l'identité du parallélogramme — la seule chose qui distingue un Hilbert d'un Banach. Rappel — Identité du parallélogramme. Dans un espace préhilbertien, [formule]. Appliquée à [formule] et [formule], elle donne [formule]. Suite minimisante. Posons [formule], fini car [formule] est non vide, et choisissons [formule] dans [formule] avec [formule]. C'est ici que sert la convexité : le milieu [formule] appartient à [formule], donc [formule] par définition de l'infimum. En reportant dans l'identité : [formule]. Le membre de droite tend vers [formule] quand [formule] : la suite [formule] est donc de Cauchy. C'est ici que sert la complétude : [formule] étant complet, [formule] converge vers un [formule] ; et [formule] étant fermé, [formule]. Par continuité de la norme, [formule]. L'existence est établie. Unicité. Si [formule] et [formule] réalisent tous deux le minimum, la même identité appliquée au couple [formule] donne [formule], donc [formule]. C'est le même calcul, ce qui n'est pas un hasard : l'unicité est la version « suite constante par blocs » de l'argument de Cauchy. ⚠️ L'erreur classique. Croire que la convexité sert à l'unicité et la fermeture à l'existence. Les trois hypothèses interviennent chacune à un endroit précis et différent : la convexité met le milieu dans [formule], la complétude fait converger la suite de Cauchy, la fermeture garde la limite dans [formule]. Retirer l'une des trois et le théorème tombe — sans convexité, la projection sur une sphère depuis son centre n'est unique en aucun point. 💡 À retenir. Ce théorème est la clé de voûte de la théorie hilbertienne : il donne la projection orthogonale sur un sous-espace fermé (cas particulier où [formule] est un sous-espace), donc la décomposition [formule], donc le théorème de représentation de Riesz. Et l'identité du parallélogramme est exactement ce qui caractérise les normes hilbertiennes parmi toutes les normes.