Soit [formule] un espace de Hilbert et [formule] un convexe fermé non vide. Montrer que pour tout [formule], il existe un unique [formule] tel que [formule].
Utiliser une suite minimisante et montrer qu'elle est de Cauchy via l'identité du parallélogramme.
Soit [formule] et [formule] une suite minimisante : [formule]. **Cauchy** : Par l'identité du parallélogramme : [formule]. Or [formule] (convexité), donc [formule]. [formule]. [formule] est de Cauchy dans [formule] complet, converge vers [formule] (fermé). [formule]. **Unicité** : Si [formule] réalisent le min, le même argument donne [formule]. [formule]