Lister tous les groupes abéliens d'ordre 36 à isomorphisme près.
Décomposition [formule] et lister les partitions.
L'énumération est courte, et le risque est de croire qu'on a fini quand on a listé les produits. Deux choses manquent alors : la certitude qu'il n'y a pas de doublon dans la liste, et la forme canonique qui permet de le vérifier. C'est ce que les facteurs invariants apportent. Rappel — le théorème de structure. Tout groupe abélien fini se décompose de deux façons canoniques. En diviseurs élémentaires : produit de [formule] pour des puissances de premiers. En facteurs invariants : [formule] Les deux listes sont uniques, et la seconde est celle qui permet de comparer deux groupes d'un coup d'œil. Le dénombrement. [formule]. Le groupe se scinde en sa partie [formule] et sa partie [formule], indépendantes, et les décompositions d'une partie [formule]-primaire d'ordre [formule] correspondent exactement aux partitions de [formule]. Ici [formule] pour les deux premiers, et [formule] admet deux partitions : [formule] et [formule]. D'où [formule] La liste, avec les deux écritures. [formule] Contrôles : chaque liste a pour produit [formule], et chacune vérifie la chaîne de divisibilité [formule]. Les quatre listes étant distinctes, les quatre groupes sont deux à deux non isomorphes. Comment on obtient les facteurs invariants. On aligne les puissances de chaque premier à droite, en complétant par des [formule], puis on multiplie colonne par colonne. Pour le troisième groupe : la partie [formule] donne [formule], la partie [formule] donne [formule] après complétion ; les colonnes font [formule] et [formule]. Le dernier facteur invariant est toujours l'exposant du groupe — l'ordre maximal d'un élément — ici [formule]. ⚠️ La même écriture peut cacher le même groupe : [formule]. Le théorème chinois identifie tout produit de facteurs d'ordres premiers entre eux à un cyclique. C'est pourquoi une liste de produits n'est pas une classification : sans forme canonique, on ne sait pas si deux écritures désignent le même groupe. Les facteurs invariants tranchent immédiatement — deux groupes sont isomorphes si et seulement si leurs listes coïncident. 💡 À retenir. Le nombre de groupes abéliens d'ordre [formule] vaut [formule], où [formule] est la fonction partition — il ne dépend donc que des exposants, jamais des premiers eux-mêmes. Ainsi [formule] en admet [formule] comme [formule], tandis que [formule] en admet [formule] et [formule] en admet [formule]. Le cas non abélien est incomparablement plus difficile : il y a déjà [formule] groupes d'ordre [formule], et [formule] d'ordre [formule].