Groupe des quaternions $Q_8$

Énoncé

Montrer que [formule] est un groupe non abélien d'ordre 8 qui n'est pas isomorphe à [formule].

Indication

Comparer les ordres des éléments de [formule] et [formule].

Solution

Table : [formule], [formule], [formule] (non commutatif). [formule]. Éléments d'ordre 4 : [formule] (6 éléments). D'ordre 2 : [formule] (1 élément). Dans [formule] : 2 éléments d'ordre 4 ([formule]), 5 éléments d'ordre 2. Les distributions d'ordres diffèrent : [formule]. Autre argument : tout sous-groupe de [formule] est distingué ([formule] est hamiltonien), pas [formule]. [formule]