Montrer que [formule] est un groupe non abélien d'ordre 8 qui n'est pas isomorphe à [formule].
Comparer les ordres des éléments de [formule] et [formule].
Il n'y a que deux groupes non abéliens d'ordre [formule] : [formule] et [formule]. L'exercice demande de les distinguer, et l'argument par les ordres suffit. Ce qui mérite d'être ajouté, c'est à quel point ces deux groupes se ressemblent par ailleurs — au point d'avoir la même table de caractères, ce qui montre que l'invariant choisi n'était pas gratuit. La table de multiplication. [formule] avec [formule] et les produits en sens inverse changés de signe : [formule], [formule], [formule]. Le groupe est donc non abélien, [formule]. Le calcul de [formule] montre que [formule] commute avec tout, et [formule]. Les ordres dans [formule]. L'élément [formule] est d'ordre [formule] ; [formule] est d'ordre [formule] ; et [formule] donne [formule], donc [formule] est d'ordre [formule] — de même pour [formule]. Distribution : [formule] Les ordres dans [formule], et la conclusion. [formule] contient [formule], la rotation [formule] et les quatre symétries axiales, toutes d'ordre [formule], plus [formule] et [formule] d'ordre [formule] : [formule] La distribution des ordres est un invariant d'isomorphisme — un isomorphisme préserve l'ordre de chaque élément. Comme [formule], on conclut [formule]. Les deux distributions ont été vérifiées par énumération exhaustive des huit éléments de chaque groupe. Le second argument : [formule] est hamiltonien. Un groupe est dit hamiltonien lorsqu'il est non abélien et que tous ses sous-groupes sont distingués. [formule] l'est — vérification exhaustive : il possède [formule] sous-groupes, tous distingués. [formule], lui, en possède [formule], dont [formule] ne sont pas distingués — par exemple le sous-groupe engendré par une symétrie axiale, dont les conjugués donnent l'autre symétrie du même type. C'est un invariant indépendant du premier, et il conclut aussi. ⚠️⚠️ Beaucoup d'invariants ne les distinguent PAS, et c'est ce qui rend l'exercice instructif. Les deux groupes ont : même cardinal [formule], même centre [formule], même quotient par le centre (le groupe de Klein [formule]), même groupe dérivé, cinq classes de conjugaison de tailles [formule] dans les deux cas — vérifié —, donc mêmes degrés de représentations irréductibles [formule]. Leurs tables de caractères sont identiques. Deux groupes non isomorphes peuvent donc avoir la même table de caractères : c'est le contre-exemple standard à l'idée que la théorie des représentations déterminerait le groupe. 💡 À retenir. Pour montrer que deux groupes de même ordre ne sont pas isomorphes, la distribution des ordres est le premier réflexe, et souvent le seul nécessaire. Si elle ne suffit pas, essayer dans l'ordre : le centre, le nombre de classes de conjugaison, le treillis des sous-groupes, l'abélianisé. Et retenir que la liste des groupes d'ordre [formule] est complète — [formule], [formule], [formule] pour les abéliens, [formule] et [formule] pour les autres.