Montrer que [formule] (symétries du carré) a 8 éléments et déterminer son centre.
Lister les rotations et les symétries axiales.
Le dénombrement est une énumération, et le calcul du centre une vérification. On les fait ici de façon structurelle plutôt qu'à la main — présentation par générateurs et relation de conjugaison —, parce que c'est la seule voie qui se généralise à [formule] et qui explique pourquoi le résultat dépend de la parité de [formule]. Rappel — présentation de [formule]. Le groupe des isométries du polygone régulier à [formule] côtés est engendré par la rotation [formule] d'angle [formule] et une symétrie axiale [formule], soumises à [formule] La dernière relation est la clé de tout : conjuguer une rotation par une symétrie l'inverse. Tout élément s'écrit alors de façon unique [formule] ou [formule] avec [formule], d'où [formule]. Le cardinal, pour [formule]. Les quatre rotations [formule] d'angles [formule], et les quatre symétries axiales — deux par les milieux des côtés, deux par les diagonales. Total : [formule]. La distinction entre les deux types de symétries est réelle : elles ne sont pas conjuguées entre elles dans [formule], ce qui se voit sur les cinq classes de conjugaison. Le centre, par le calcul structurel. Un élément [formule] est central si et seulement s'il commute avec [formule] : [formule] Pour [formule], cela donne [formule], soit [formule] et [formule]. Et aucune symétrie n'est centrale : [formule] ne commute pas avec [formule], puisque [formule] dès que [formule]. Donc [formule] Vérification exhaustive faite par ailleurs sur les [formule] produits : le centre a bien exactement deux éléments. Le résultat général tombe du même calcul. La condition [formule] avec [formule] donne [formule] seul si [formule] est impair, et [formule] si [formule] est pair. Donc [formule] La rotation [formule] est la symétrie centrale du polygone, qui n'existe que pour un nombre pair de côtés — le résultat est donc géométriquement lisible. ⚠️ Le centre n'est pas l'ensemble des éléments qui commutent avec les générateurs choisis — c'est un cas où l'inverse est vrai, mais il faut le dire. Commuter avec [formule] et avec [formule] suffit à commuter avec tout, puisque tout élément est un mot en [formule] et [formule]. C'est ce qui rend le calcul court, et c'est un fait général : pour vérifier qu'un élément est central, il suffit de le tester sur un système de générateurs. Le tester sur les [formule] éléments serait quatre fois plus long pour rien. La distribution des ordres, qui servira à comparer. Dans [formule] : un élément d'ordre [formule], cinq d'ordre [formule] ([formule] et les quatre symétries), deux d'ordre [formule] ([formule] et [formule]). Cette distribution [formule] est ce qui distingue [formule] du groupe des quaternions, l'autre groupe non abélien d'ordre [formule]. 💡 À retenir. [formule] est le premier exemple de produit semi-direct : [formule], où le facteur [formule] agit par inversion. La relation [formule] est l'action, et c'est elle qu'il faut retenir plutôt que la liste des éléments. Retenir aussi le réflexe : un centre se calcule sur les générateurs.