Orthonormaliser la base [formule] de [formule] par Gram-Schmidt.
Appliquer Gram-Schmidt pas à pas.
Le procédé s'exécute mécaniquement, et c'est justement le risque : on peut le dérouler sans voir ce qu'il fait. Chaque étape retranche à [formule] sa projection orthogonale sur l'espace déjà construit — ce qui reste est donc, par construction, orthogonal à tout ce qui précède. C'est cette lecture qui permet de contrôler le calcul au lieu de le subir. Rappel — le procédé. Partant d'une famille libre [formule], on pose [formule] Le vecteur [formule] n'est jamais nul, sinon [formule] appartiendrait à [formule] et la famille ne serait pas libre. Conseil de calcul : orthogonaliser d'abord en gardant les [formule] non normés, et ne normaliser qu'à la fin — cela évite de traîner des racines carrées dans tous les produits scalaires. Première étape. [formule] et [formule], donc [formule] Deuxième étape. [formule], donc [formule] Contrôle : [formule]. ✓ Puis [formule], d'où [formule]. Troisième étape. [formule] et [formule], donc [formule] Avec [formule] : [formule] Contrôle final, à ne jamais sauter. Les trois produits scalaires croisés doivent être nuls, et les trois normes égales à [formule] : [formule] Trois produits scalaires d'entiers : le contrôle coûte dix secondes et attrape à peu près toutes les erreurs de signe. ⚠️ Le procédé n'est pas symétrique : changer l'ORDRE change le résultat. [formule] est toujours colinéaire à [formule], donc permuter les vecteurs de départ produit une autre base orthonormée. Ce qui est conservé, en revanche, est le drapeau : [formule] C'est cette propriété, et non l'unicité, qui caractérise Gram-Schmidt — à un choix de signes près, c'est l'unique famille orthonormée qui l'a. 💡 À retenir. Gram-Schmidt démontre l'existence d'une base orthonormée dans tout espace préhilbertien de dimension finie, et par extension l'existence d'un supplémentaire orthogonal. Retenir les deux conseils pratiques : orthogonaliser avant de normaliser, et contrôler l'orthogonalité à chaque étape plutôt qu'à la fin — une erreur détectée à l'étape [formule] coûte bien moins cher qu'à l'étape [formule].