Calculer l'aire de la sphère de rayon [formule] comme surface de révolution.
Paramétrer le demi-cercle et appliquer la formule [formule].
Le calcul est court, et il cache un fait remarquable : l'intégrande se simplifie en une constante. Ce n'est pas une commodité du cas particulier mais un théorème d'Archimède, et il a une conséquence contre-intuitive qu'il vaut la peine d'énoncer. Rappel — la formule. Pour la surface engendrée par la rotation du graphe de [formule] autour de l'axe [formule], [formule] Elle se lit comme une somme de troncs de cône : [formule] est la circonférence du parallèle, et [formule] l'élément de longueur d'arc — jamais [formule] seul, sans quoi on oublierait l'inclinaison de la surface. Application à la sphère. Le demi-cercle supérieur est [formule] sur [formule], avec [formule] La simplification, qui est le cœur du résultat. [formule] constante. L'intégrale devient triviale : [formule] Le théorème d'Archimède, qui est ce que cette constante signifie. Puisque l'intégrande ne dépend pas de [formule], l'aire d'une zone sphérique — la portion de sphère comprise entre deux plans parallèles — ne dépend que de la hauteur entre ces plans, jamais de leur latitude. Contrôle : pour [formule], les zones [formule], [formule] et [formule] ont toutes la hauteur [formule], et toutes trois une aire de [formule]. Une calotte polaire mince et une bande équatoriale de même épaisseur ont donc exactement la même aire — ce qui contredit l'intuition, la bande équatoriale paraissant bien plus large. La conséquence classique. L'aire de la sphère égale celle du cylindre circonscrit de même hauteur, [formule] — et c'est cette égalité, avec celle des volumes dans le rapport [formule], qu'Archimède fit graver sur sa tombe. C'est aussi ce qui rend la projection cylindrique de Lambert équivalente, c'est-à-dire conservant les aires : elle projette chaque point de la sphère horizontalement sur le cylindre. ⚠️ La formule de l'aire n'est pas [formule], contrairement à celle du volume qui est [formule]. Oublier le facteur [formule] donnerait ici [formule] au lieu de [formule] — une sous-estimation de [formule], plausible et fausse. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle vient de ce que l'aire se mesure le long de la courbe, pas en projection. 💡 À retenir. Les deux formules de révolution autour de [formule] : volume [formule], aire latérale [formule]. Le second théorème de Guldin les unifie et les généralise : l'aire engendrée par une courbe vaut sa longueur multipliée par la distance parcourue par son centre de gravité — ici [formule], le centre de gravité du demi-cercle étant à distance [formule] de l'axe.