Montrer que le birapport [formule] est invariant par projection depuis un point.
Utiliser l'expression en coordonnées homogènes.
L'argument par coordonnées homogènes est correct mais reste allusif — « le birapport ne dépend que des rapports [formule] » demande à être justifié. Il existe une démonstration entièrement calculatoire, par les sinus, qui rend l'invariance visible : elle exprime le birapport en fonction des seuls angles au sommet de projection. Rappel — définition. Pour quatre points alignés [formule] d'abscisses [formule] sur une droite, [formule] C'est un rapport de rapports, donc invariant par toute transformation affine de la droite — mais une projection centrale n'est pas affine, et c'est là que le résultat devient intéressant. La démonstration par les aires. Soit [formule] le centre de projection. L'aire du triangle [formule] vaut [formule], et elle vaut aussi [formule] où [formule] est la distance de [formule] à la droite. En formant le quotient avec [formule], la hauteur [formule] et le facteur [formule] se simplifient : [formule] De même pour [formule]. En formant le birapport, les longueurs [formule] et [formule] se simplifient à leur tour : [formule] Pourquoi cela conclut. Le membre de droite ne dépend que des angles en [formule], c'est-à-dire des quatre rayons [formule], [formule], [formule], [formule] — pas de la sécante choisie. Toute autre droite coupant ces quatre rayons donne donc le même birapport : c'est exactement l'invariance par projection. On définit d'ailleurs ainsi le birapport de quatre droites concourantes, qu'on appelle un faisceau harmonique lorsqu'il vaut [formule]. Contrôle numérique. Depuis [formule], les quatre points d'abscisses [formule] sur l'axe [formule] ont pour birapport [formule]. Projetés sur [formule], sur [formule], sur [formule] puis sur la droite oblique [formule], ils donnent à chaque fois [formule] — et la formule des sinus rend la même valeur. Quatre sécantes différentes, un seul birapport. ⚠️ Le birapport dépend de l'ORDRE des quatre points. Les [formule] permutations ne donnent que six valeurs, formant l'orbite [formule] sous l'action d'un groupe isomorphe à [formule]. Comparer deux birapports suppose donc d'avoir fixé la même convention d'ordre — et les conventions varient d'un ouvrage à l'autre, ce qui est une source d'erreurs constante. 💡 À retenir. Le birapport est l'invariant fondamental de la géométrie projective : deux configurations de quatre points alignés sont projectivement équivalentes si et seulement si elles ont le même birapport. Il vaut [formule] pour une division harmonique, configuration qui apparaît dans le théorème de Ceva, dans la polaire d'un point par rapport à une conique, et dans la construction du conjugué harmonique à la règle seule. Il est aussi l'invariant des homographies [formule], ce qui le relie aux isométries du demi-plan de Poincaré.