Dans le demi-plan de Poincaré [formule] avec [formule], calculer la distance entre [formule] et [formule] avec [formule].
Paramétrer par le segment vertical et intégrer.
Le calcul de l'intégrale est immédiat. Ce qui demande une démonstration, et que l'énoncé pose sans justification, c'est que le segment vertical soit le plus court chemin — rien ne l'impose a priori dans une métrique où les longueurs dépendent de la position. Rappel — la métrique. Dans le demi-plan de Poincaré [formule], la longueur d'un chemin [formule] est [formule] Le facteur [formule] dilate les longueurs près du bord : un déplacement euclidien de longueur [formule] à hauteur [formule] compte pour [formule]. C'est ce qui rend le bord infiniment lointain. Longueur du segment vertical. Avec [formule] pour [formule] : [formule], [formule], donc [formule] La démonstration que c'est un minimum, en deux inégalités. Soit [formule] un chemin quelconque de [formule] à [formule]. Alors [formule] La première inégalité vient de [formule], avec égalité si et seulement si [formule] — le chemin reste vertical. La seconde est l'inégalité triangulaire intégrale, avec égalité si et seulement si [formule] garde un signe constant — le chemin monte sans redescendre. Les deux conditions caractérisent le segment, qui est donc l'unique géodésique. Contrôle numérique : de [formule] à [formule], le segment mesure [formule], tandis qu'un détour latéral en arche mesure [formule]. Ce que la distance révèle. [formule] ne dépend que du rapport des hauteurs, pas de leur différence : les points [formule] et [formule] sont à la même distance que [formule] et [formule]. La conséquence est que le bord [formule] est infiniment loin — quand [formule], [formule] : [formule] donne [formule], [formule] donne [formule]. Le demi-plan est complet bien qu'il « ait un bord » au sens euclidien, et ce bord est ce qu'on appelle le bord à l'infini. ⚠️ Les géodésiques ne sont pas toutes verticales. Ce sont les demi-droites verticales et les demi-cercles centrés sur l'axe réel. Deux points de même hauteur, comme [formule] et [formule], ne sont donc pas joints par le segment horizontal : le plus court chemin passe par le demi-cercle unité, qui monte avant de redescendre — parce que monter réduit le coût métrique. Croire que le segment euclidien est toujours géodésique est l'erreur qui rend toute la géométrie hyperbolique incompréhensible. 💡 À retenir. [formule] est un modèle de la géométrie hyperbolique, de courbure constante [formule], où l'axiome des parallèles est faux : par un point hors d'une géodésique passent une infinité de géodésiques qui ne la rencontrent pas. Ses isométries sont les homographies [formule] à coefficients réels et déterminant positif, soit le groupe [formule] — et le birapport en est l'invariant fondamental, ce qui relie ce modèle à la géométrie projective.