Déterminer le groupe des rotations (isométries directes) d'un cube. Montrer qu'il est isomorphe à [formule].
Une rotation du cube permute les 4 grandes diagonales.
Le cube possède 4 grandes diagonales reliant les sommets opposés. Toute rotation du cube permute ces diagonales : on obtient un morphisme [formule]. Injectivité : si une rotation fixe les 4 diagonales, elle fixe les 8 sommets donc c'est l'identité. Dénombrement : rotations autour des axes passant par les centres de faces opposées (3 axes, angles [formule] : 9 rotations), des axes par sommets opposés (4 axes, angles [formule] : 8 rotations), des axes par milieux d'arêtes opposées (6 axes, angle [formule] : 6 rotations), plus l'identité = 24. [formule]. Comme [formule] est injective et les cardinaux sont égaux, [formule] est un isomorphisme. [formule]. [formule]