Déterminer le groupe des rotations (isométries directes) d'un cube. Montrer qu'il est isomorphe à [formule].
Une rotation du cube permute les 4 grandes diagonales.
La démonstration repose sur un morphisme injectif entre deux groupes de même cardinal. Le point délicat n'est ni l'injectivité ni la définition du morphisme : c'est d'établir que [formule] exactement. Le dénombrement par axes exhibe [formule] rotations, ce qui ne prouve que [formule] — il faut un second argument. Le morphisme. Le cube a quatre grandes diagonales, joignant des sommets opposés. Toute rotation du cube permute cet ensemble de quatre objets, d'où un morphisme [formule] Injectivité. Supposons que [formule] fixe chacune des quatre diagonales. Chaque diagonale est alors globalement invariante, donc [formule] fixe ou échange ses deux extrémités. Si [formule] échangeait les extrémités d'une diagonale tout en fixant les autres globalement, l'examen des cas montre que [formule] serait [formule], de déterminant [formule] : impossible pour une rotation. Donc [formule] fixe les huit sommets, et une isométrie fixant quatre points non coplanaires est l'identité. D'où [formule]. Le cardinal, par orbite-stabilisateur. C'est l'argument qui manquait. [formule] agit transitivement sur les huit sommets — on peut amener n'importe quel sommet sur n'importe quel autre par une rotation. Le stabilisateur d'un sommet est le groupe des rotations autour de la grande diagonale qui y aboutit, d'angles [formule], [formule], [formule] : il est d'ordre [formule]. La formule des orbites donne [formule] Contrôle par le dénombrement des axes. [formule] Total : [formule]. ✓ Les deux comptes concordent, et c'est leur conjonction qui établit l'égalité — le second seul ne majorait pas. Conclusion. [formule] est un morphisme injectif entre deux groupes de cardinal [formule] : c'est un isomorphisme, et [formule]. ⚠️ Le groupe COMPLET des isométries du cube n'est pas [formule] mais un groupe d'ordre [formule]. Il contient les [formule] rotations et leurs composées avec [formule], la symétrie centrale — qui n'est pas une rotation, son déterminant valant [formule] en dimension impaire. Comme [formule] est central et d'ordre [formule], le groupe complet est [formule] Et il n'est pas isomorphe à [formule] « par hasard » : c'est la structure générale des groupes de polyèdres centralement symétriques. 💡 À retenir. La méthode est celle de tous les groupes de polyèdres : trouver un ensemble d'objets géométriques que le groupe permute fidèlement — ici les diagonales, ailleurs les faces ou les paires d'arêtes —, puis identifier l'image par un comptage. Le cube et l'octaèdre étant duaux, ils ont le même groupe ; de même le dodécaèdre et l'icosaèdre, dont le groupe de rotations est [formule], d'ordre [formule] — et c'est ce fait qui donne le plus petit groupe simple non abélien.