Soient [formule] quatre points alignés distincts. Montrer que le birapport [formule] est invariant par toute homographie (transformation projective) de la droite projective.
Une homographie de [formule] s'écrit [formule] avec [formule]. Vérifier l'invariance par calcul direct.
Le calcul direct fonctionne et il faut savoir le mener. Mais il masque la raison conceptuelle de l'invariance, qui rend le résultat évident : le birapport n'est pas une quantité qu'une homographie préserve par miracle, c'est une coordonnée dans un repère projectif — et changer de repère ne change pas la coordonnée. Rappel — le cadre. On identifie la droite projective à [formule], et une homographie s'écrit [formule] avec [formule]. Le birapport est [formule] Le calcul, et le lemme qui le porte. Pour tous [formule], [formule] le numérateur se réduisant après développement à [formule]. Le birapport des images fait intervenir quatre différences : deux au numérateur, deux au dénominateur. Le facteur [formule] apparaît donc deux fois de chaque côté et se simplifie ; et chacun des quatre facteurs [formule] apparaît exactement une fois en haut et une fois en bas. Tout se simplifie : [formule] Contrôle : sur trois homographies tirées au hasard, l'écart entre les deux birapports est de l'ordre de [formule]. La raison de fond — le birapport EST une coordonnée. Fixons [formule] distincts et regardons [formule] C'est une homographie en [formule], et elle envoie [formule] — vérifié numériquement sur un triplet quelconque. Or il existe une unique homographie envoyant trois points donnés sur [formule] : le groupe des homographies est simplement [formule]-transitif. Donc [formule] est cette homographie, et [formule] est exactement la coordonnée de [formule] dans le repère projectif [formule]. Pourquoi l'invariance en découle sans calcul. Si [formule] est une homographie, [formule] est encore une homographie et elle envoie [formule] sur [formule] : par unicité, c'est la coordonnée associée au repère image. Évaluée en [formule], elle rend [formule]. Le birapport est donc invariant parce que la coordonnée d'un point dans un repère ne dépend pas du nom qu'on donne aux points. ⚠️ La [formule]-transitivité est SIMPLE, pas double : on ne peut pas imposer la quatrième image. Trois points se placent librement, le quatrième est alors entièrement déterminé — et c'est précisément le contenu du birapport. C'est ce qui distingue le groupe projectif du groupe affine (simplement [formule]-transitif sur la droite) : en géométrie affine, le rapport [formule] de trois points est l'invariant ; en projectif, il faut en prendre quatre. 💡 À retenir. L'invariance du birapport caractérise les homographies : une bijection de [formule] qui le préserve est une homographie. C'est l'invariant fondamental de la perspective — deux photographies d'une même scène, prises de points différents, donnent des birapports identiques sur toute droite —, ce dont se servent la vision par ordinateur pour la calibration et la reconstruction [formule]D.