Montrer que les géodésiques de la sphère [formule] de rayon [formule] sont les grands cercles.
Utiliser la symétrie par réflexion ou les équations des géodésiques en coordonnées sphériques.
Deux voies mènent au résultat, et elles n'ont pas le même statut. Le calcul par les équations différentielles est long et suppose les symboles de Christoffel ; l'argument de symétrie tient en trois lignes et n'utilise qu'un fait — l'unicité de la géodésique issue d'un point avec une vitesse donnée. C'est celui qu'il faut retenir. La première forme fondamentale. Avec [formule], un calcul direct donne [formule] Le paramétrage est orthogonal ([formule]), et la métrique dégénère aux pôles [formule] — où [formule] n'est plus défini, ce qui est un défaut de carte, pas de surface. L'argument de symétrie, qui suffit. Soient [formule] et [formule] un vecteur tangent unitaire en [formule]. Le plan [formule] contenant le centre [formule], le point [formule] et le vecteur [formule] définit une réflexion [formule] de [formule] ; comme [formule] est une isométrie qui préserve la sphère, elle transforme les géodésiques en géodésiques. Or [formule] fixe [formule] et [formule]. Par unicité de la géodésique issue de [formule] avec vitesse [formule], la géodésique [formule] vérifie donc [formule] : elle est contenue dans l'ensemble des points fixes de [formule], qui est [formule] — un grand cercle. Réciproquement tout grand cercle s'obtient ainsi, donc les géodésiques sont exactement les grands cercles. La voie calculatoire, et ce qu'elle donne en plus. Les équations sont [formule] La seconde exprime la conservation de [formule] : c'est la relation de Clairaut, valable sur toute surface de révolution, et elle s'interprète comme la conservation du moment cinétique par rapport à l'axe. Elle a une conséquence géométrique concrète : une géodésique ne peut pas franchir le parallèle où [formule] — elle y rebrousse. C'est ce qui explique la forme des routes aériennes. ⚠️⚠️ Géodésique ne veut PAS dire « plus court chemin ». Un grand cercle joignant deux points en offre deux arcs, et seul le plus court minimise — l'autre est une géodésique parfaitement légitime, mais qui maximise localement. Pire, pour deux points antipodaux, il y a une infinité de géodésiques de même longueur [formule], tous les grands cercles passant par eux. La géodésique est une courbe d'accélération tangentielle nulle, ce qui est une condition locale ; la minimisation est globale, et les deux ne coïncident que sur des arcs assez courts. La courbure, qui explique tout cela. La sphère est de courbure de Gauss constante [formule], et c'est cette positivité qui fait converger les géodésiques : deux grands cercles se recoupent toujours, en deux points antipodaux. Il n'y a donc aucune paire de géodésiques disjointes — l'axiome des parallèles est faux dans l'autre sens que dans le plan hyperbolique, où il y en a une infinité. 💡 À retenir. L'argument de symétrie est un outil général : dès qu'une isométrie fixe un point et une direction, la géodésique correspondante est dans son ensemble de points fixes. Il donne les géodésiques de la sphère, du cylindre (hélices, droites, cercles) et du plan hyperbolique sans aucun calcul de Christoffel. Retenir aussi que la somme des angles d'un triangle géodésique sur la sphère vaut [formule], formule de Girard — l'excès angulaire mesure l'aire.