Utiliser la formule de Green-Riemann pour calculer l'aire délimitée par l'ellipse [formule].
L'aire est [formule]. Paramétrer l'ellipse.
La formule de l'aire par une intégrale curviligne est une conséquence directe de Green-Riemann, et son intérêt est qu'elle transforme une intégrale double en une intégrale simple sur le bord. Reste un point que l'énoncé ne mentionne pas et qui décide du signe : l'orientation du parcours. Rappel — Green-Riemann. Pour un domaine [formule] de bord [formule] orienté positivement — le domaine restant à gauche quand on le parcourt —, [formule] En choisissant [formule] et [formule], la parenthèse vaut [formule], et l'intégrale double devient l'aire : [formule] D'autres choix conviennent aussi — [formule] donne [formule] — mais la forme symétrique est la plus commode en paramétrique. Paramétrage et calcul. [formule], [formule] pour [formule], d'où [formule] et [formule]. Alors [formule] l'intégrande étant constante — même simplification que pour la courbure de l'ellipse, et pour la même raison : [formule] vaut [formule]. Donc [formule] Contrôle : pour [formule] on retrouve [formule], et le calcul numérique avec [formule], [formule] donne [formule]. ✓ ⚠️ L'orientation fait partie de l'énoncé, et l'inverser change le SIGNE. Le paramétrage [formule] parcourt l'ellipse dans le sens trigonométrique, qui est le sens positif. En parcourant dans l'autre sens, la même intégrale rend [formule] — vérifié numériquement. Une aire négative n'est pas une erreur de calcul mais un parcours mal orienté, et il faut savoir reconnaître laquelle des deux fautes on a commise. Ce que la méthode apporte vraiment. Elle donne l'aire d'un domaine dont on ne connaît que le bord, sans jamais décrire l'intérieur. C'est ce qui la rend utilisable là où l'intégrale double serait pénible : aire d'un polygone à partir de ses sommets — la formule du lacet, [formule], n'est que la version discrète de celle-ci —, ou aire mesurée par un planimètre, instrument mécanique qui intègre le long du contour. Le mécanisme derrière. Green-Riemann est le cas plan du théorème de Stokes : [formule]. Ici [formule] et [formule], la forme d'aire. Le théorème de la divergence, la formule de Green-Ostrogradski et le théorème fondamental de l'analyse sont le même énoncé en dimensions différentes. 💡 À retenir. La formule [formule] est à connaître telle quelle : elle donne l'aire de toute courbe fermée simple paramétrée, sans hypothèse de convexité ni d'équation cartésienne. Retenir aussi la vérification systématique — un résultat négatif signale une orientation inversée, un résultat nul signale une courbe qui se referme en revenant sur elle-même.