Soit [formule] pour [formule]. Déterminer l'image du demi-plan [formule] par [formule].
Calculer [formule] pour [formule] dans le demi-plan supérieur.
Posons [formule] avec [formule]. [formule]. [formule]. Si [formule] : le numérateur est strictement inférieur au dénominateur (différence [formule]). Donc [formule] : l'image est dans le disque unité ouvert [formule]. Surjectivité : [formule]. Pour [formule] : [formule]. L'image du demi-plan de Poincaré est le disque unité [formule] (transformation de Cayley). [formule]