Soit [formule] pour [formule]. Déterminer l'image du demi-plan [formule] par [formule].
Calculer [formule] pour [formule] dans le demi-plan supérieur.
L'application [formule] est la transformation de Cayley, et le calcul de [formule] règle la question de l'inclusion. Ce qui demande plus de soin est la surjectivité — l'énoncé demande l'image, pas seulement une majoration —, et c'est le calcul de la réciproque qui la fournit. L'inclusion dans le disque. Posons [formule] avec [formule]. Alors [formule] Le dénominateur moins le numérateur vaut exactement [formule], donc [formule] : l'image est contenue dans le disque unité ouvert [formule]. Noter au passage l'interprétation géométrique — [formule] signifie que [formule] est plus proche de [formule] que de [formule], ce qui caractérise le demi-plan supérieur. La surjectivité, par la réciproque. Résolvons [formule] : [formule] donne [formule], d'où [formule] Il reste à vérifier que ce [formule] est bien dans le demi-plan. En multipliant par le conjugué, [formule] qui est strictement positif dès que [formule]. Tout point du disque a donc un antécédent, et l'image est exactement [formule]. Contrôles numériques. Trois points du demi-plan tirés au hasard donnent des images de modules [formule], [formule] et [formule], et la réciproque les retrouve exactement. Dans l'autre sens, trois points du disque donnent des [formule] égaux à la formule [formule] à la précision machine. Quelques valeurs remarquables : [formule] — le point [formule] va au centre du disque —, [formule] et [formule] quand [formule]. ⚠️ Le point [formule] doit être exclu, et [formule] n'est jamais atteint. L'application n'est définie que sur [formule], et sa réciproque n'est définie que sur [formule] : les deux exclusions se correspondent. Ce n'est pas une pathologie mais la trace de ce qu'une homographie est une bijection de la sphère de Riemann [formule] — en y ajoutant le point à l'infini, [formule] et [formule], et il n'y a plus aucune exception. Ce que la transformation préserve. Une homographie envoie droites et cercles sur droites et cercles — les droites étant les cercles passant par l'infini — et elle est conforme, c'est-à-dire qu'elle conserve les angles. C'est pourquoi elle transporte le bord du demi-plan, la droite réelle plus l'infini, sur le cercle unité. 💡 À retenir. Cayley est l'isomorphisme standard entre les deux modèles de la géométrie hyperbolique : le demi-plan de Poincaré et le disque de Poincaré. La métrique [formule] se transporte en [formule], et le groupe d'isométries [formule] devient [formule]. Selon la question posée, l'un des deux modèles est toujours plus commode — le disque pour les symétries, le demi-plan pour les calculs.