Soit la surface de révolution paramétrée par [formule] avec [formule]. Calculer la première forme fondamentale et l'aire d'un tore de rayons [formule] ([formule], [formule]).
Calculer [formule], [formule], [formule].
Le calcul de [formule], [formule], [formule] est mécanique. Deux choses méritent d'être dites : ce que signifie [formule], et d'où vient la formule de l'aire — car la fiche saute directement à l'intégrande sans nommer [formule], qui est pourtant l'objet central. Rappel — la première forme fondamentale. Pour une surface paramétrée [formule], on pose [formule] et [formule]. C'est la restriction du produit scalaire ambiant au plan tangent : elle contient toute la géométrie intrinsèque — longueurs, angles, aires — sans référence à la façon dont la surface est plongée. Le calcul pour une surface de révolution. [formule] et [formule], d'où [formule] et [formule] D'où [formule]. Ce que [formule] signifie. Le paramétrage est orthogonal : en tout point, le méridien ([formule] constant) et le parallèle ([formule] constant) se coupent à angle droit. Ce n'est pas un hasard mais une propriété de toutes les surfaces de révolution, et c'est ce qui rend leurs calculs si simples — l'absence de terme croisé. L'aire, et la formule qui manquait. L'élément d'aire est [formule] l'égalité venant de l'identité de Lagrange [formule]. Ici [formule]. Application au tore. Avec [formule] et [formule] : [formule], [formule], donc [formule] et [formule] L'aire vaut alors [formule] le terme en [formule] s'intégrant à zéro sur une période. Contrôle par le théorème de Pappus-Guldin. L'aire engendrée par une courbe en rotation vaut sa longueur multipliée par la distance parcourue par son centre de gravité : [formule]. ✓ Le même théorème pour les volumes donne [formule] — avec [formule], [formule] : aire [formule] et volume [formule], vérifiés numériquement. ⚠️ La première forme fondamentale ne détermine PAS la surface dans l'espace. Un cylindre et un plan ont la même — [formule] — car on peut dérouler l'un sur l'autre sans déformer : ce sont des surfaces isométriques, de courbure de Gauss nulle toutes deux. Ce qui les distingue est la seconde forme fondamentale, qui mesure la courbure du plongement. Le theorema egregium de Gauss dit exactement où passe la frontière : la courbure de Gauss, elle, se lit sur la première forme seule. 💡 À retenir. [formule], [formule], [formule] donnent trois choses sans jamais quitter la surface : la longueur d'un arc [formule], l'angle entre deux courbes, et l'aire [formule]. C'est la géométrie intrinsèque — celle qu'un habitant de la surface pourrait mesurer —, par opposition à la géométrie extrinsèque du plongement.