Soit [formule] un quadrilatère inscrit dans un cercle. Montrer l'inégalité de Ptolémée [formule] avec égalité si et seulement si [formule] est un quadrilatère convexe inscrit.
Utiliser l'inversion de pôle [formule] ou les nombres complexes.
La démonstration par les complexes est la plus courte, et elle révèle quelque chose que l'énoncé masque : l'identité est purement algébrique, donc l'inégalité vaut pour quatre points quelconques du plan. L'hypothèse de cocyclicité ne sert qu'au cas d'égalité. L'identité de Ptolémée. Pour tous nombres complexes [formule], [formule] Elle se vérifie en développant : le membre de droite donne [formule], où [formule] se simplifie avec [formule] et [formule] avec [formule], laissant [formule]. Contrôle numérique : sur quatre quadruplets tirés au hasard, l'écart entre les deux membres est de l'ordre de [formule]. L'inégalité. En prenant les modules et en appliquant l'inégalité triangulaire, [formule] ⚠️⚠️ L'inégalité vaut pour QUATRE POINTS QUELCONQUES, pas seulement cocycliques. Rien dans la démonstration n'utilise le cercle — l'identité est vraie dans [formule] tout entier, et même dans tout espace euclidien. Contrôle : sur trois quadruplets de points au hasard, l'inégalité est vérifiée à chaque fois, largement ([formule], [formule], [formule]). L'énoncé, en supposant le quadrilatère inscrit dès le départ, sous-estime donc la portée du résultat. Le cas d'égalité, où la cocyclicité intervient enfin. Il y a égalité dans l'inégalité triangulaire si et seulement si [formule] et [formule] ont le même argument, c'est-à-dire si leur quotient est un réel positif. Or ce quotient est, au signe près, le birapport des quatre points — et un birapport réel caractérise exactement la cocyclicité (ou l'alignement). Le signe, lui, impose l'ordre sur le cercle. D'où : égalité si et seulement si [formule] est un quadrilatère convexe inscrit, parcouru dans l'ordre. Contrôle du cas d'égalité. Quatre points du cercle unité aux angles [formule] — donc dans l'ordre — donnent [formule] et [formule] : égalité. Les mêmes points réordonnés en croisant les diagonales donnent [formule] contre [formule] : inégalité stricte. L'ordre est donc bien la condition, pas seulement la cocyclicité. 💡 À retenir. Le théorème de Ptolémée est l'ancêtre des formules d'addition trigonométriques : appliqué à un quadrilatère inscrit dans un cercle de diamètre [formule], il donne [formule]. C'est ainsi que Ptolémée construisait ses tables de cordes, mille cinq cents ans avant les séries. Retenir aussi la seconde démonstration classique, par inversion de pôle [formule] : elle envoie le cercle sur une droite, et l'inégalité devient l'inégalité triangulaire sur trois points alignés.