Soit [formule] un quadrilatère inscrit dans un cercle. Montrer l'inégalité de Ptolémée [formule] avec égalité si et seulement si [formule] est un quadrilatère convexe inscrit.
Utiliser l'inversion de pôle [formule] ou les nombres complexes.
On place les points sur le cercle unité : [formule], [formule], [formule], [formule]. [formule]. Identité algébrique : [formule] pour [formule]. Par l'inégalité triangulaire sur les modules : [formule]. Égalité dans l'inégalité triangulaire ssi [formule] et [formule] sont de même argument, ce qui correspond au cas convexe inscrit (les points sont dans l'ordre sur le cercle). [formule]